2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案

  （河北河南安徽山西海南）

源头学子小屋

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　 　  球是表面积公式

　　　　　　　　　　　　 

如果事件A、相互独立，那么　　　　　　　　　　   其中R表示球的半径

　　　　　　　　　　　　球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么　　　　　 

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率　　　　　　  其中R表示球的半径

一、选择题

（1）复数=

（A）　　　　　　　　　　　（B）　　　　　　　　　　 （C）　　　　　　 （D）

（2）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是

（A）　　　　　　　　　　　　 （B）

（C）　　　　　　　 　 （D）

（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为

（A）　　　　　　　　（B）　　　　　　　　　　（C）　　　　　　　 （D）

（4）已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是

（A）　　（B）　　　　（C）　（D）

（5）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为

（A）　　 （B）　　  （C）　　　　　（D）

（6）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为

（A）　　　　　　　　　 （B）　　　　　　　　　　　（C）　　　　　　　　　 （D）

（7）当时，函数的最小值为

（A）2　　　　　　　　　　　　　　　 （B）　　　　　　　　　（C）4　　　　　　　　　　　　（D）

（8）设，二次函数的图像为下列之一

 　

则的值为

（A）　　　　　　　　　　　　（B）　　　　　　　　　　 （C）　　　　　 （D）

（9）设，函数，则使的的取值范围是

（A）　　　 （B）　　　　　　　（C）　　　（D）

（10）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为

（A）　　　　　　　　　　　　　 （B）　　　　　　　　　　　　　　 （C）　　　　　　　　 （D）2

（11）在中，已知，给出以下四个论断：

①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

③　　　　　　　　　　　　　　　　　　④

其中正确的是

（A）①③　　　　　　　　　 （B）②④　　　　　　　　　　　　　（C）①④　　　　　　　　　 （D）②③

（12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有

（A）18对　　　　　　　　　（B）24对　　　　　　　　　　　　 （C）30对　　　　　　　　　（D）36对

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚

3．本卷共10小题，共90分

 二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上

（13）若正整数m满足，则m = 　　　　 

（14）的展开式中，常数项为　　　　　 （用数字作答）

（15）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =　　　　

（16）在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则

①　  四边形一定是平行四边形

②　  四边形有可能是正方形

③　  四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形

④　  四边形有可能垂直于平面

以上结论正确的为　　　　　  （写出所有正确结论的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）（本大题满分12分）

设函数图像的一条对称轴是直线

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调增区间；

（Ⅲ）证明直线于函数的图像不相切

（18）（本大题满分12分）

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

（19）（本大题满分12分）

设等比数列的公比为，前n项和

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小

（20）（本大题满分12分）

9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到）

（21）（本大题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值

（22）（本大题满分12分）

（Ⅰ）设函数，求的最小值；

（Ⅱ）设正数满足，证明

　　　

2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案

  （河北河南安徽山西海南）

参考答案

一、选择题：1．A　2．C　3．B　4．C　5．A　6．D　

7．C　8．B　9．C　10．B　11．B　12．D

二、填空题： 13．155　14．672　15．1　16．①③④

三、解答题

17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分

解：（Ⅰ）的图像的对称轴，

　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由题意得

所以函数

（Ⅲ）证明：∵

所以曲线的切线斜率的取值范围为[-2,2]，

而直线的斜率为，

所以直线于函数的图像不相切

18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分

方案一：

（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，

则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形.　由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，　　

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

.　　∴AB=2，

故所求的二面角为

方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.

（Ⅰ）证明：因

又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

（Ⅱ）解：因

由此得AC与PB所成的角为

（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

要使

为所求二面角的平面角.

19．（Ⅰ）

（Ⅱ）

20．（Ⅰ）

	0	10	20	30
P	0.670	0.287	0.041	0.002

的数学期望为:

21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学

知识解决问题及推理的能力. 满分12分

（1）解：设椭圆方程为

则直线AB的方程为，代入，化简得

.

令A（），B），则

由与共线，得

又，

即，所以，

故离心率

（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为

设，由已知得

 在椭圆上，

即①

由（1）知

22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力　满分12分

（Ⅰ）解：对函数求导数：

　　　

　　　

于是，

当时，，在区间是减函数，

当时，，在区间是增函数，

所以时取得最小值，，

（II）用数学归纳法证明

(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立

(ⅱ)假设当n=k时命题成立　

即若正数满足，

则

当n=k+1时，若正数满足，

令

，，……，

则为正数，且，

由归纳假定知



　　　　　　　　　　　①

同理，由，可得

　　　②

综合①、②两式

　

　　　

　　　

　　　

即当n=k+1时命题也成立

根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立