2005年上海市高考数学最新测试卷

(七校联考：华师大一附中、曹杨二中、市西中学、市三女子、控江、格致、市北)

一、填空题（4′×12）

1．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点  。

2．已知集合，集合，则集合 。

3．若角终边落在射线上，则  。

4．关于的方程有一实根为，则  。

5．数列的首项为，且，记为数列前项和，则 。

6．新教材同学做：

　 若满足，则目标函数取最大值时  。

　 老教材同学做：

　 若的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第  项。

7．已知函数，若对任意有成立，则方程在上的解为  。

8．新教材同学做：

　 某校高二（8）班四位同学的数学期中、期末和平时成绩可分别用矩阵

　 表示，总评成绩分别按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的总和计算，则四位同学总评成绩的矩阵可用表示为  。

　 老教材同学做：

　 某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为  。（结果用分数表示）

9．将最小正周期为的函数的图象向左平移个单位，得到偶函数图象，则满足题意的的一个可能值为  。

10．据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内。

年龄（岁）	30	35	40	45	50	55	60	65	……
收缩压 （水银柱/毫米）	110	115	120	125	130	135	（140）	145	……
舒张压 （水银柱/毫米）	70	73	75	78	80	73	85	（88）	……

11．若函数，其中表示两者中的较小者，

则的解为  。

12．如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径

为的半圆得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前

一个被剪掉半圆的半径）可得图形，记纸板的面积为，则  。

二、选择题（4′×4）

13．已知满足，则下列选项中不一定能成立的是　　　　　　　　　　  （　C  ）

A、　　　 B、　　 C、　　　 D、

14．下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　C  ）

A、若，，则。

B、函数的反函数为。

C、函数为奇函数。

D、函数，当时，恒成立。

15．函数为奇函数的充要条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　B  ）

A、 　 B、　　C、　　D、

16．不等式对任意都成立，则的取值范围为　　　　　 （　B  ）

A、　 　　　 B、 　　　　　C、　 　　 D、

三、解答题：

17．（本题满分12分）

新教材同学做：在中，角所对边分别为，已知

　 　0

0　　　 　　 = 0，求的面积S。

　　0　　 1　　

　解：计算行列式的值，得 ，由正弦定理，得

　　 即，∴ ，再由，得，∴

∴是直角三角形，∴ 。

　　老教材同学做：在中，角所对边分别为，已知，求 的面积S。　　

　 解：由及正弦定理，得 ，即 ，（其余同上）

18．（本题满分12分）

　　设复数，复数，且在复平面上所对应点在直线上，求的取值范围。

　 解：    

　　　 ∴

19．（本题满分14分）

　　已知关于的不等式的解集为。

　　（1）当时，求集合；

　　（2）若，求实数的取值范围。

　 解：（1）时，不等式为，解之，得

　　　（2）时，   

　　　　　 时，不等式为， 解之，得　，

则 ，　 ∴满足条件

综上，得  。

20．（本题满分14分）

　　如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：

①　　 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，

Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，

Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。

　　试求：

　　（1）的表达式；（2）的表达式；

　　（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果能否为2005？

若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。

解：（1）

　 （2）

　 （3） ，∵，

　　　  ∴输出结果不可能为。

21．（本题满分16分）

　　对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。

　　对自然数，规定为的阶差分数列，其中。

　（1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

　（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

　（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

　解：（1），∴是首项为4，公差为2的等差数列。

　　　　

∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

　　 （2），即，即，∴

　　　　 ∵，∴，，，猜想：

　　　　 证明：ⅰ）当时，；

　　　　　　　 ⅱ）假设时，

　　 　　　　　　　时， 结论也成立

　　　　　　  ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，

　　  （3），即

　　　　  ∵

　　　　  ∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立。

22．（本题满分18分）

　　已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。

　　（1）求函数的解析式；

　　（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；

　　（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。

　 解：（1）时，， 则

　　　　　　　  ∵函数是定义在上的奇函数，即

　　　　　　　  ∴，即 ，又可知

　　　　   ∴函数的解析式为  ，

　　　（2），∵，，∴

　　　　　∵

　　　　  ∴，即 时， 。

　　　　  猜想在上的单调递增区间为。

　 　 （3）时，任取，∵

　　　　　　　　   ∴在上单调递增，即，即

　　　　　　　　   ∵，∴，∴

　　　　   ∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。