_{2005年高考数学模拟试卷（海门）}

_{一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.}

_{1．设集合M={－1，1，0}，N＝{1，2，3，4，5}, ,映射f：M→N,使对任意的x∈M,都有x+f(x)是奇数,这样的映射f的个数为}

_{A.10　　　　B.11　 　　　C.12　　　　　D.13}

_{2．现从某校5名学生干部中选出4人分别参加“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是}

_{A.30　　　　 B.60　　　　C.120　　　　 D.180}

_{3．已知数列满足：，，则等于}

_{A.2　　　　 B. 　　　 C.　 　　　D.1}

_{4．一直线与直二面角的两个面所成的角分别为、，则}

_{A. 　　　　　　 B.}

_{C.　　　　　D.}

_{5．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，是其中的一组，已知该组的频率为，该组上的直方图的高为，则等于}

_{A.　 　　 B.　　　　C.　　　　D.}

_{6．椭圆的四个顶点、、、，若菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是}

_{A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.}

_{7．已知，则}

_{A. 　　　 B.　 　　 C.　　　　D.}

_{8．函数与的图象在上交点的个数是}

_{A.3个　 　　 B.5个　 　　 C.7个　 　　 D.9个}

_{9．已知，曲线上一点到的距离为11，是 的中点，为坐标原点，则}

_{A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.或}

_{10．是正三棱锥底面内任一点，过引底面的垂线与三棱锥三个侧面所在平面交于、、，棱锥高为，侧面与底面所成的二面角为，则为}

_{A.　　　　B.　 　　　C.　 　　　D.}

_{二、填空题：本大题共4小题，每答案填在题中横线上。}

_{11．设是R上以2为周期的奇函数，已知当时，，那么在 上的解析式是　　　　　　　　　　。}

_{12．已知点与圆上的一点，若，则　　　　　　　 。}

_{13．如图,点分别是四面体顶点或棱的中点.那么，在同}

_{一平面上的四点组}

_{有　　　　　　　 　　．}

_{14．设函数的图象为，将向右平移个单位，}

_{可得曲线，若曲线与函数的图象关于轴对称，那么可以是　　　　　　　 　　．}

_{三、解答题:本大题共6小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤．}

_{15．（本小题满分13分）}

_{△ABC的三边为a，b，c，已知，且，求三角形面积的最大值．}

_{16．（本小题满分13分）}

_{一出租车司机从饭店火车站途中有个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是．}

_{（１）求这位司机在途中遇到红灯前，已经通过了个交通岗的概率；}

_{（２）设司机在途中遇到个红灯的概率为，求的值．}

_{17．（本小题满分14分）}

_{四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，．}

_{（１）求证：平面平面；}

_{（２）求异面直线与所成角的余弦值；}

_{（３）求二面角的正切值．}

_{18．（本小题满分14分）}

_{对于函数（，为函数的定义域），若同时满足下列条件：①在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是．那么把称为闭函数．}

_{（１）求闭函数符合条件②的区间；}

_{（２）判断函数是否为闭函数？并说明理由．}

_{（３）若是闭函数，求实数的取值范围．}

_{19．（本小题满分15分）}

_{已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．}

_{（1）取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．}

_{（2）若和有两条公切线，证明相应的两条切线段互相平分．}

_{20．（本小题满分15分）}

_{设函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数R，有成立.数列满足，且(N)．}

_{（１）求的值；}

_{（２）若不等式对一切N均成立，求的最大值．}

_参考答案

_{一、选择题}

_{1．Ｃ　 2．Ｄ　　3．Ａ　　4．Ｄ　5．Ｃ　　6．Ｃ　　7．Ｂ　　8．Ｂ　 9．Ｂ　 10．Ａ}

_{二、填空题}

_{11．　 12．３　　 13．３３　　 14．}

_{三、解答题}

_{15．解：，又由余弦定理得}

_{．，，得，．又，．}

_{当且仅当时，等号成立．．}

_{16．解（１）司机在途中遇到红灯前，通过了个交通岗的概率}

_（２），

_，

_{17．（１）证：，，为直角，} 

_．

_{（２）设与的交点为，取的中点，连，，，}

_{，就是异面直线与所成的角或补角．}

_．

_{（３）面，过作，连，由三垂线定理可知， 就是二面角的平面角．}

_，，．

_{18．（1）由在上为减函数，得，可得，，所求区间是．}

_{（2）取，可得不是减函数，取，可得在不是增函数，所以不是闭函数．}

_{（3）设函数符合条件②的区间为，则}

_{，故，是方程的两个实根，}

_{命题等价于有两个不等实根．}

_{当时，　 解得，}

_{；当时，这时，无解．}

_{所以的取值范围是．}

_{19．（1）函数的导数，曲线在点的切线方程是：}

_即，

_{即　　　①}

_{函数的导数，曲线在点的切线方程}

_{是，即　　　②}

_{如果直线是过和的公切线，则①和②式都是的方程，所以．}

消去x₁，得方程_．

_{若判别式时，即时解得，此时点与重合．}

_{即当时，和有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为.}

_{(2)证明:由（Ⅰ）可知,当时和有两条公切线.}

_{设一条公切线上切点为:,.}

_{其中在上,在上,则有,}

_。

_{线段的中点为.}

_{同理,另一条切线段的中点也是.}

_{所以公切线段和互相平分.}

_{20．解:(1)令,，得,,故.}

_{当时,,,进而得.}

_设R，且,

_则,,

_.

_{故,函数在R上是单调递减函数.}

_由,得.

_故,,(N)

_{因此,是首项为1,公差为2的等差数列.由此得,.}

_{(2) 由恒成立,}

_{知恒成立.}

_设,则,

_且.

_{又,即,故为关于的单调增函数,.所以,,即的最大值为.}