黄冈中学高考数学第三轮综合能力测试题(四)

一、选择题：

1．已知平面上的直线L的方向向量＝(－,)，点A(－1,1)和B(0,－1)在L上的射影分别是A₁和B₁，若＝λ，则λ的值为(　　)

　A．　　　　　　　　　　　 B．－　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　D．－2

2．下列命题中，正确的个数是(　　)

①若＋＝0，则＝＝；

②在△ABC中，若＋＋＝，则O为△ABC的重心；

③若，是共线向量，则·＝·，反之也成立；

④若，是非零向量，则＋＝的充要条件是存在非零向量，使·＋·＝0．

A．1　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　　　　D．4

3．若命题P：x∈A∩B，则﹁P (　　)

　A．x∈A且x∈B　　　B．x∈A或x∈B　　　　　C．x∈A且x∈B　　　D．x∈A∪B

4．已知函数f(x)＝log₂ax－1　(a≠0)满足关系式f(－2＋x)＝f(―2―x)，则a的值为(　　)

　A．1　　　　　　　　　　　　B．－　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　D．－1

5．已知A、B、C、D是同一球面上的四点，且每两点间距都等于2，则球心到平面BCD的距离是(　　)

　A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

6．若数列{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₃＋a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃＋a₂₀₀₅＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是(　　)

　A．4005　　　　　　　　　 B．4006　　　　　　　　　　　 C．4007　　　　　　　　　 D．4008

7．已知f(x)＝2x＋3,(x∈R)，若f(x)－1＜a的必要条件是x＋1＜b，(a、b＞0)．则a、b之间的关系是(　　)

　A．a≤　　　　　　　　　 B．b＜　　　　　　　　　　　 C．b≥　　　　　　　　　 D．a＞

8．已知f(x)为R上的增函数，点A(－1,1),B(1,3)在它的图象上，f^－1(x)是它的反函数，则不等式f^－1(log₂xkl)＜1的解集为(　　)

　A．{x－1＜x＜1}　　B．{x2＜x＜8}　　　　　 C．{x1＜x＜3}　　　　D．无法确定

9．函数y＝－sinx＋cosx在x∈[－,]时的值域是(　　)

　A．[0, ]　　　　　　　 B．[－,0]　　　　　　　　 C．[0, ]　　　　　　　 D．[0,1]

10．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是(　　)

　A．　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　D．

11．已知点(n,a_n)(n∈N^＋)在直线y＝4x－x上，且数列{a_n}的前n项和S_n＝an²＋bn(a，b∈R)，则等于(　　)

　A．1　　　　　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　　　　　C．1或－1　　　　　　　 D．不存在

12．设随机变量ξ服从正态分布N(1,2²)，若P(ξ≤c)＝43P(ξ＞c)，则常数c等于(参考数据：φ(2)＝0.9773)　　 (　　)

　A．2　　　　　　　　　　　　B．3　　　　　　　　　　　　　　C．4　　　　　　　　　　　　D．5

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案

二、填空题：

13．若数列x,a₁,a₂,y成等差数列，x,b₁,b₂,y成等比数列，则的取值范围是＿___＿＿＿＿．

14．将函数y＝x²的图象F按向量＝(3,－2)平移到F′，则F′的函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿．

15．设命题P：4x－3≤1，命题q：x²－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若﹁P是﹁q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．

16．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“＋”如下：当a≥b时，a＋b＝a；当a＜b时，a＋b＝b²；则函数f(x)＝(1＋x)·x―(2＋x)，x∈[―2,2]的最大值等于＿＿＿＿＿＿＿＿(“·”与“－”分别为乘法与减法)．

三、解答题：

17．解关于x的不等式：＞x　(a∈R)．

18．已知等差数列{a_n}的前9项和为153．

(1)数列{a_n}中是否存在确定的项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由；

(2)若a₂＝8，b_n＝2^a_n，求数列{b_n}的前n项积T_n；

(3)若从(2)中定义的{a_n}中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2ⁿ项，按原顺序组成一新数列{C_n}，求{C_n}的前n项和S_n．

19．已知A(－2,0)，B(2,0)，点C、D满足＝2，＝(＋)．

(1)求点D的轨迹方程；

(2)过点A作直线L交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线L与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．

20．如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝3，AB＝，E、F分别为AB和A₁D的中点．

(1)求证：AF∥平面A₁EC；

(2)求A₁C与底面ABCD所成角的正切值；

(3)求二面角A₁―EC―D的正切值．

21．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，(注：利润与投资量单位：万元)

(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

22．在直角坐标平面中，已知点p₁(1,2)，p₂(2,2²)，p₃(3,2³)，…，p_n(n,2ⁿ)，其中n∈N^＋，对平面上任一点A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于P₂的对称点，…，A_n为A_n－1关于点P_n的对称点．

(1)求向量的坐标；

(2)当点A₀在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y＝f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0,3]时，f(x)＝Lgx，求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式；

(3)对任意偶数n，用n表示向量的坐标．

 2006届高三数学第三轮复习训练题(四)参考答案

1．D 2．B　解：③、④不成立，④中若⊥，⊥不一定有＋＝

3．B 4．B 5．B　解：A－BCD为正四面体，球为其外接球，设OH＝x．

则x＝．

6．B　

7．C　解：由x＋1＜x＋1＜b

8．B9．C10．C　解：5条直径．　P＝＝．

11．A　解：a_n＝4n－．由a_n＝2an－a＋b

∴．

12．D　解：P(ξ≤c)＝43 [1－P(ξ≤c)]

∴P(ξ≤c)＝＝0.9773，

∴φ()＝0.9773，

∴＝2　　  c＝5．

13．(－∞,0]∪[4,＋∞)　解：＝＝2＋(＋)≥4或≤0．

14．y＝x²－6x＋7　解：平移公式：

由﹁q﹁p，则﹁q EMBED　\* MERGEFORMAT  －﹁p．

15．[0, ]　解：q：a≤x≤a＋1则﹁q：x＜a或x＞a＋1．

p：≤x≤1，则﹁p：x＜或x＞1．

∴_0≤a≤．

16．6　解：x∈[－2,1]时，f(x)＝1·x―2∈[―4,―1]，x∈(1,2)时，f(x)＝x²·x―2

∈(―1,6)．x＝2时，f(x)＝2²·2－2＝6．

17．解：­－x＞0 ＞0 x(ax－1)＞0

　 a＝0时，x＜0

　a＜0时，x(x－)＜0＜x＜0

　a＞0时，x(x－)＞0_x＜0或x＞

18．解：(1)存在。∵S₉＝＝9a₅＝153　　 ∴a₅＝17

(2)  _{an=3n+2,　bn=23n+2}

∴T_n= 2⁵·2⁸·2¹¹…·2^3n＋2＝，

(3)S_n＝a₂＋a₄＋a₈＋…＋a₂ⁿ＝3(2¹＋2²＋2³＋…＋2ⁿ)＋2n

＝3.2^n＋1＋2n－6．

19．　解：(1)设C(x_o·y_o),D(x·y),则=(x_o+2,y_o)　　=(x+2,y)　 =(4,0)

由=2_{(xo+2)2＋yo2=4}①

由=(+)_代入①得

D点轨迹方程：x²+y²=1

(2)设椭圆b²+x²+a²y²=a²b²,　L∶y=k(x+2)与x²+y²=1相切。∴k²=.

由(3b²+a²)x²+4a²x+4a²－3a²b²=0.

∴x₁＋x₂＝=a²=2b² 又c²=4.

_{即a2－b2=4　 ∴b2=4,　a2=8　 椭圆方程为+=1}

20．解：（1）取A₁C中点O，连OE，OF，在△A₁CD中，OF　　DC　 AB．

∴AFOE为　　，∴AF∥OE．∴AF∥平面A₁EC．

(2)连AC，AA₁⊥面ABCD．∴∠A₁CA即为所求角．

又AC＝＝．∴tan∠A₁CA＝＝＝．

(3)作AM⊥CE，交CE的延长线于M，连A₁M．

易证A₁M⊥CE，∴∠A₁MA为所求角．

易证rt△AME∽rt△CBE，∴＝,CE＝．

得AM＝．

在rt△A₁AM中．tan∠A₁MA＝＝＝．

20．解：（1）取A₁C中点O连OE，OF在△A₁CD中，OF　　DC　 AB.

∴AFOE为　　，∴AF∥OE．∴AF∥和A₁EC．

（2）连AC，AA1⊥面ABCD．∴∠A1C即为所求角。

又AC＝=　∴tcm∠A1CA===.

(3)作AM⊥CE，交CE的延专线于M，连A₁M，

易证A₁M⊥CE，∴∠A₁M为所求角．

易证re△AME∽re△CBE, ∴=,CE=

AM=.

在re△A₁AM中，tcm∠A₁MA===

21．（1）设投资x万元，A产品利润f(x)万元，B产品利润为g(x)万元

则f(x)=k₁x　 g(x)=k₂, 由图1知f(x)=,　∴k₁=,

g(4)=1.6　 ∴k₂=.

故　f(x)=x (x≥0)　　g(x)= (x≥0)

(2)设A产品投入x万元，B产品投入10－x万元．

总利润y万元，则y=x+,　(o≤x≤10)

令t=,　　(0≤t≤)

则y=＋t＝―(t―2)²＋．

∴当t＝2时，y_mox＝2.8(万元)

此时x＝6，故A投入6万元．B投入4万元．

可获得最大利润2.8万元．

22．解：(1)∵P₁、P₂分别为A₀A₁，A₁A₂中点．∴＝＝2(1,2)＝(2,4)

(2)设A₀(x₀,y₀) (x₀∈(1,4])，则A₁(2―x₀,4―y₀)，∴A₂(x₀＋2,y₀＋4)．

x₀＋2∈(3,6]，∵f(x)是以3为周期的函数，且当x∈(0,3]时，f(x)＝Lgx，

∴f(x)＝Lg(x－3)，x∈(3,6]，又点A₂在函数y＝f(x)图象上．

∴y₀＋4＝Lg(x₀＋2－3)，即y₀＝Lg(x₀―1)―4

C∶y＝Lg(x―1)―4．

(3) ＝＋＋＋…＋

＝2(＋＋…＋)

又＝(1,2^n－1)．

∴＝2[(1,2¹)＋(1,2³)＋(1,2⁵)＋…＋(1,2^n－1)]

＝2(,2¹＋2³＋2⁵＋…＋2^n－1)＝(n, )．