2006高考数学试题陕西卷
理科试题（必修＋选修II）
注意事项：
１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合P={x∈N1≤x≤10},集合Q={x∈Rx2+x－6≤0}, 则P∩Q等于( )
A. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
2.复数等于( )
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
3. n→∞lim等于( )
A. 1 B. C. D.0
4.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( )
A.± B.±2 B.±2 D.±4
6."等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
7.已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
8.已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
10.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1－a,则( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( )
A.平面ABC必平行于α B.平面ABC必与α相交
C.平面ABC必不垂直于α D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
第二部分（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
14.(3x－)12展开式x－3的系数为 (用数字作答)
15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是
16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
18. (本小题满分12分)
甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.
19. (本小题满分12分)
如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.
20. (本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .
21. (本小题满分12分)
如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
22.（本小题满分１4分）
已知函数f(x)=x3－x2+ + , 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0.
（I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0, xn+1=f(xn); y1=, yn+1=f(yn),
其中 n=1,2,……
（II）证明：xn<xn+1<x0<yn+1<yn;
（III）证明： < .
以下答案由渭南市吝店中学 郝进提供 (hao－)
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 9．D
10．A 11．D 12．C
二、填空题
13．－ 14．594 15．3R 16．600
三、解答题
17.解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)
= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
=2sin[2(x－)－]+1
= 2sin(2x－) +1
∴ T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,有 2x－ =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈Rx= kπ+ , (k∈Z)}.
18.解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1 , "乙投篮1次投进"为事件A2 , "丙投篮1次投进"为事件A3, "3人都没有投进"为事件A . 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= ,
∴ P(A) = P()=P()·P()·P()
= [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)=
∴3人都没有投进的概率为 .
(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0,1,2,3), ξ~ B(3, ),
P(ξ=k)=C3k()k()3－k (k=0,1,2,3) , Eξ=np = 3× = .
解法二: ξ的概率分布为:
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
Eξ=0×+1×+2×+3×= .
19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐标为(,－, ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－,).
又·=(,－,)·(,1,－1)= － － =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE= = = = = ,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理 . ∴kDE = = = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t). ∴ , ∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
解法二: (Ⅰ)同上.
(Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t,
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t,
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 .
设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
22.解: （I）∵f '(x)=3x2－2x+ = 3(x－)2+ >0 , ∴f(x)是R上的单调增函数.
（II）∵0<x0< , 即x1<x0<y1.又f(x)是增函数, ∴f(x1)<f(x0)<f(y1).即x2<x0<y2.
又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1, y2=f(y1)=f()=<=y1,综上, x1<x2<x0<y2<y1.
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时,上面已证明成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk .
当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk),∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1
由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn.
（III） = = yn2+xnyn+xn2－(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2－(yn+xn)+
=[(yn+xn)－]2+ . 由(Ⅱ)知 0<yn+xn<1.∴－ < yn+xn－ < , ∴ < ()2+ =