2006届安徽省涡阳四中高三高考模拟试卷(一)
数 学卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试用时120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
参 考 公 式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinα+sinβ=2sin
sinα-sinβ=2cos
cosα+cosβ=2cos
cosα-cosβ=-2sin
S台侧=(c′+c)l(c、c′分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长)
V台体=(S′++S)h(S′、S分别表示上、下底面积,h表示高)
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=
一、选择题(本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知二次函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且α、β(α<β)是方程f(x)=0的两根,则a、b、α、β的大小关系是
A.α<a<b<β B.a<α<β<b
C.a<α<b<β D.α<a<β<b
2.已知θ∈[0,π],f(θ)=sin(cosθ)的最大值为a,最小值为b,g(θ)=cos(sinθ)的最大值为c,最小值为d,则a、b、c、d从小到大的顺序为
A.b<d<a<c B.d<b<c<a
C.b<d<c<a D.d<b<a<c
3.函数的反函数是
A. B.
C. D.
4. 某地区高中分三类,A类校共有学生4000人,B类校共有学生2000人,C类校共有学生3000人.现欲抽样分析某次考试的情况,若抽取900份试卷进行分析,则从A类校抽取的试卷份数应为
A.450 B.400
C.300 D.200
5.给定两个向量a=(3,4),b=(2,1),若(a+xb)⊥(a-b),则x的值等于
A.-3 B.
C.3 D.-
6. 已知F1、F2为双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线,它与双曲线的一个交点为P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
7. 点P在曲线y=x3-x+7上移动,过P点的切线的倾斜角取值范围是
A.[0,π)
B.(0,)∪[,π
C.[0, ∪(,
D.[0, ∪[,π)
8. 若某等差数列{an}中,a2+a6+a16为一个确定的常数,其前n项和为Sn,则以下也为确定的常数的是
A.S17 B.S15
C.S8 D.S7
9.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,若点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n的值为
A.4 B.-4
C.10 D.-10
10.设方程2-x=lgx的两根为x1、x2,则
A.x1x2<0 B.x1x2=1
C.x1x2>1 D.0<x1x2<1
11. 如上图,正方体ABCD—A1B1C1D1 中,E、F分别是AB、CC1的中点,则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
12.设数集M={xm≤x≤m+},N={xn-≤x≤n},且M、N都是集合{x0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{xa≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13.不等式x2-(a+1)x+a>0的解集为{xx<-1或x>1,x∈R,则a的取值范围为 .
14.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 .
15.某地一种出租车的车费的计算规定如下:基本车费为7元,行程不足3公里时,只收取基本车费;行程不足5公里时,大于等于3公里的那部分,每增加0.5公里,加收车费0.7元,不足0.5公里按0.5公里计算(如:行程为x公里,在4≤x<4.5时,车费为7+0.7×3=9.1元;行程大于等于5公里时,大于等于5公里的那部分,每增加0.2公里,加收车费0.4元.如果某人从A地到B地,共付车费11元,那么从A地到B地的行程x的范围是 .
16. 如图所示,在A、B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通. 今发现A、B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 种.
三、解答题(本大题共6小题;共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(12)已知函数f(x)=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A(0,1),B(, 1),且当x∈[0, ]时,f(x)取得最大值2-1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在向量m,使得将f(x)的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象?若存在,求出满足条件的一个m;若不存在,说明理由.
18.(本小题满分12分)
在袋里装30个小球,其中彩球有:n个红色、5个蓝色、10个黄色,其余为白球.
求:(Ⅰ)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球,并将它们编上了不同的号码后排成一排,那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种?
(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球(无白色)的概率是,且n≥2,计算红球有几个?
(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.
19.(12分)设二次方程有两根和,且满足
(1)试用表示a;
(2)求证:数列是等比数列;
(3)当时,求数列的通项公式。
20.(本小题满分12分)
如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB,点E、M分别为A1B、C1C的中点,过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
(Ⅰ)求证:EM∥平面A1B1C1D1;
(Ⅱ)求二面角B—A1N—B1的正切值.
21(12分)某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线。
(1)写出第一次服药后y与t之间的函
数关系式
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药
量不少于0.25微克时,治疗有效。
①求服药一次后治疗有效的时间是多长?
②当时,第二次服药,问
时药效能否持续?
22.(本小题满分14分)
已知抛物线y2=2(x+)的焦点为F,准线为l,试判断:是否存在同时满足以下两个条件的双曲线C:
(1)双曲线C的一个焦点是F,相应F的准线为l;
(2)直线m垂直于x-y=0,双曲线C截直线m所得的线段的长为2,并且截得线段的中点恰好在直线x-y=0上.
若存在,求出这条双曲线的方程;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题
1.A (根据二次函数的图象即得)
2.A (由正余弦函数的值域和单调性得)
3D由反函数的定义求法即可得到
4.B 5.A
6.D (由a2+b2=c2及直角三角形PF1F2中的边角关系求得)
7.D (过P点的切线的倾斜角正切值的范围即是y=3x2-1的值域[-1,+∞),由此得答案)
8.B (a2+a6+a16=3a1+21d=3a8是一个确定的常数,因此S15=15a8是常数)
9. C ( 提示:点(7,3)与点(m,n)关于点(2,0)与点(-2,4)的中垂线对称)
10.D (设两根为x1<x2,结合图象知前两个式子相减整理得
lg(x1x2)=<0,由此易得答案=
11.B (设异面直线A1C与EF所成角为θ,正方体棱长为1,得=1,所以选B)
12.C (集合M的长度为、集合N的长度为,因M、N都是集合{x0≤x≤1}的子集,而{x0≤x≤1}的长度为1,由此得集合M∩N的“长度”的最小值是()
二、填空题
13.a≤0 14.-37 15.5.4≤x<5.6 16.13
三、解答题
17. 解: (Ⅰ)由题意知
∴b=c=1-a,
∴f(x)=a+(1-a)sin(2x+). 3分
∵x∈[0, ],
∴2x+∈[,].
当1-a>0时,
由a+(1-a)=2-1,
解得a=-1;
当1-a<0时,
a+(1-a)·=2-1,无解;
当1-a=0时,a=2-1,相矛盾.
综上可知a=-1.
∴f(x)=-1+2sin(2x+). 8分
(Ⅱ)∵g(x)=2sin2x是奇函数,将g(x)的图象向左平移个单位,再向下平移一个单位就可以得到f(x)的图象. 10分
因此,将f(x)的图象向右平移个单位,再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x)=2sin2x的图象.
故m=(,1)是满足条件的一个向量.
18.解:(Ⅰ)将5个黄球排成一排只有种排法,将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上,有种放法 ,
∴所求的排法为=5×4×3×2×6×5×4=14400(种). 4分
(Ⅱ)取3个球的种数为=4060,设“3个球全红色”为事件A,“3个球全蓝色”为事件B,“3个球全黄色”为事件C.
P(B)=,
∵A、B、C为互斥事件,
∴P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),
即
取3个球红球的个数n≤2.
又∵n≥2,故n = 2 . 8分
(Ⅲ)记“3个球中至少有一个是红球”为事件D,则为“3个球中没有红球”,
P(D)=1-P()=1-或P(D)= 12分
19、(本小题满分12分)
设二次方程- (n∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用表示a;
20.(法一)(Ⅰ) 证明: 取A1B1的中点F,连EF、C1F.
∵E为A1B中点,
∴EF BB1. 2分
又∵M为CC1中点,
∴EFC1M,
∴四边形EFC1M为平行四边形,
∴EM∥FC1. 4分
而EM平面A1B1C1D1,FC1平面A1B1C1D1.
∴EM∥平面A1B1C1D1. 6分
(Ⅱ)解: 由(Ⅰ)EM∥平面A1B1C1D1,EM平面A1BMN,
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N,
∴A1N∥EM∥FC1,
∴N为C1D1中点.
过B1作B1H⊥A1N于H,连BH,根据三垂线定理BH⊥A1N,
∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角. 8分
设AA1=a,则AB=2a.
∵A1B1C1D1为正方形,
∴A1N=a.
又∵△A1B1H∽△NA1D1,
∴B1H=.
在Rt△BB1H中,
tanBHB1=,
即二面角B—A1N—B1的正切值为. 2分
(法二)(Ⅰ) 证明:建立如图所示空间直角坐标系,设AB=2a,AA1=a(a>0),则
A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a). 2分
∵E为A1B的中点,M为CC1的中点,
∴E(2a,a,),M(0,2a, ).
∴EM∥A1B1C1D1. 6分
(Ⅱ)解:设平面A1BM的法向量为n=(x,y,z),
又=(0,2a,-a), =(-2a,0,),
由n⊥,n⊥,得
∴
∴n=(,a). 9分
而平面A1B1C1D1的法向量为n1=(0,0,1).
设二面角为θ,则cosθ=.
又二面角为锐二面角,
∴cosθ=. 11分
21解:⑴当 时,
此时在曲线上,所以
⑵①因为
所以服药一次治疗疾病的有效时间为
②设5小时第二次服药后,血液中含药量为第二次产生的含药量4(t-5)微克以及第一次的剩余量
只要说明当时即可说明药效持续,否则不持续。
因为在R上是增函数,
上是增函数。
故
因此当t=5时第二次服药,药效持续。
从而tanθ=
22.解:∵y2=2(x+),
∴焦点为F(0,0),准线l:x=-1. 2分
设双曲线C存在,其离心率为e,点(x,y)为双曲线C上任意一点,
由条件=e,得
(1-e2)x2+y2-2e2x-e2=0. 4分
又设与x-y=0垂直的直线m为y=-x+b,
则双曲线C应与m有两个交点,设为A(x1,y1)、B(x2,y2),且AB=2.
由
得(2-e2)x2-2(e2+b)x+b2-e2=0.
则 (*)成立,
且x1+x2=,x1x2=. 9分
又AB=2,所以2[()2-4()]=8,
所以=1.① 11分
又AB的中点M()在直线x-y=0上,
∴.②
由①、②解得
此时(*)成立,所以满足条件的双曲线C存在,其方程为3x2-y2+8x+4=0. 14分