2006年高考模拟测试数学3
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3页至8页，共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．函数
的最小正周期为 （ ）
A．2π B．π C．
D．
2．如图，I是全集，M、N、S是I的子集，则图中阴影部分所示集合是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的大致图象是
（ ）
4．实数x，y满足x+2y=4，则3x+9y最小值为 （ ）
A．18 B．12 C．
D．
5．若关于x的方程
有解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞10 B．0＜m＜100 C．0＜m＜10 D．0＜m≤10－3
6．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲商品因供不应求，连续两次提价10%，
而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙两种电脑均以9801元
售出.若商场同时售出甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较，商场盈利情况是 （ ）
A．前后相同 B．少赚598元 C．多赚980.1元 D．多赚490.05元
7．（理科做）在极坐标方程中，曲线C的方程是
，过点
作曲线C的切线，
则切线长为 （ ）
A．4 B．
C．
D．
（文科做）函数
的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．右图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶
点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．数列
是公差不为零的等差数列，并且
是等比数列
的相
邻三项.若b2=5， 则bn= （ ）
A．5·
B．5·
C．3· D．3·
10．过双曲线
的右焦点F作一条长为
的弦AB，将双曲线绕其右准线旋转
240°，则由弦AB生成的曲面面积为 （ ）
A．40π B．30π C．20π D．10π
11．设
的展开式的各项系数之和为M，而二项式系数之和为N，且M－N=992.
则展开式中x2项的系数为 （ ）
A．250 B．－250 C．150 D．－150
12．某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m
千米，远地点B距离地面n千米，地球的半径为k千米.关于椭圆有以下四种说法：
①焦距长为n－m；②短轴长为
；③离心率为
；
④以AB方向为x轴的正方向，F为坐标原点，则左准线方程为
以上正确的说法有 （ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。）
13．某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调5名教师，每所学校至
少抽调1人到山区5所学校支援，每校一人，则有 种支教方案.
14．数列
，则数列的通项为an=
.
15．过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为
，那么
这个三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为 .
16．一系列椭圆以定值线l为准线，所有椭圆的中心都在定点M，点M到l的距离为2，若
这一系列椭圆的离心率组成以
为首项，公比为
的等比数列，而椭圆相应的长轴长
为Cn，则
为
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知关于x的方程：
有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足
求，z为何值时，z有最小值，并求出z的值.
18．（12分）三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧面AA1C1C是菱形，
PA⊥BC，点P是A1C1的中点，∠C1CA=60°.
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）求直线CC1与直线B1P所成角的正弦值；
（3）求四棱锥P—AA1B1B的体积.
19．（12分）函数
对任意的m，n∈R都有
，并且当x＞0
时，
.
（1）求证：在R上是增函数；
（2）若
，解不等式
.
20．（12分）（文科做）已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用
甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物
内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
| 甲 | 乙 | 丙 | |
| 维生素A（单位/千克） | 600 | 700 | 400 |
| 维生素B（单位/千克） | 800 | 400 | 500 |
| 成本（元/千克） | 11 | 9 | 4 |
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）确定x，y，z的值，使成本最低.
（理科做）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度
d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，
其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
 |
21．（12分）等比数列{an}首项为a1=2002，公比为
.
（1）设
表示该数列的前n项的积，求的表达式；
（2）（理科做）当n取何值时，有最大值.
（文科做）当n取何值时，有最大值.
22．（14分）双曲线G的中心在原点O，并以抛物线
的顶点为右焦点，以
此抛物线的准线为右准线.
（1）求双曲线G的方程；
（2）设直线
与双曲线G相交于A、B两点，
①当k为何值时，原点O在以AB为直径的圆上？
②（理科做，文科不做）是否存在这样的实数k，使A、B两点关于直线
为
常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
高考模拟测试3
数学答案及评分意见
一、选择题（每小题5分，共60分）
CABAD BC（D文）CDA BC
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13．720 14．
15．2； 16．
三、解答题：（共74分）
17．（12分）解
（1）∵b是方程
的实根，∴（b2－6b+9）+（a－b）i=02分
故
…………………4分 解得a=b=3……………………6分
（2）设
由
，得
…8分
即
∴z点的轨迹是以O1（－1，1）为圆心，
为半径的圆.……………………………10分
如图，当z点在OO1的连线上时，z有最大值或最小值，
，∴当z=1－i，时………………11分
最小值，
……………………………12分
18．（12分）证明：（1）∵四边形AA1C1C是菱形，∠C1CA=60°，∴△AC1A1是正三角形，又P是A1C1
的中点，∴PA⊥A1C1，……2分 ∴PA⊥AC. 又PA⊥BC，AC∩BC=C ∴PA⊥平面ABC.……4分
（2）由（1），PA⊥平面ABC，∴PA⊥平面 A1B1C1，由△AC1A1是正三角形，∴PB1⊥A1C1， 6分
∴B1P⊥平面AA1C1C，∴B1P⊥CC1. ∴CC1与B1P所成的角的正弦值为1.…………8分
（3）
……10分 
……………12分
19．（12分）（1）证明：设
，且
，则
……………2分
而
………………4分
∴是增函数.……………………6分
（2）解：
……………8分
∴不等式即
，
是增函数，∴
……………10分 解得－3＜a＜2…………12分
20．（12分）解：（文科）解：（1）依题意，
2分
（2）由
得，
，……4分
…………6分 
…………8分
当且仅当
时等号成立.……………10分 ∴当x=50千克，y=20千克，
z=30千克时，混合物成本最低为850元.………………………………………12分
（理科）解（1）安全负荷
为正常数） 翻转
………2分
，安全负荷变大.…4分当 
，安全负荷变小. 6分
（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则
.
∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.
……8分
.………………………………………10分，当且仅当
，即取
，
取
时，u最大， 即安全负荷最大.………………12分
21．（12分）解：（1）等比数列的通项为
……………………………2分
前n项的积为
………5分
（2）（文科）令
，……6分
………………8分
，…………………………………………10分
，b11是最大值.
故当n=11时，
……………………………12分
（理科）
………6分 ∴当
＞1，
……7分
当＞10时，
＜1，
，……………………………8分
……10分 故，只需比较f（9）与f（12）的
大小就可以确定f（n）的最大值. 
………………11分
故，n=12时，f（n）有最大值
.…………………12分
22．（14分）解：（1）抛物线
的项点为
（文2理1分）
准线为
……………………………（文4，理2分）
设双曲线G为
则有
，可得，a2=3，b2=9.
∴双曲线G的方程为
.……………………（文6，理4分）
（2）①由
，得
………………………………（文7分）
又由
.………（文8，理5分）
设
…………………………（文9分）
∵若原点O在AB为直径的圆上，有OA⊥OB，KOA·KOB=－1，
，即
……（文10，理6分） 化简为
………（文12，理7分）解得，
.
故，当k=±1时，原点O在AB为直径的圆上.………（文14，理8分）
②设这样的实数k存在，则有
|
由②③得，
…………………………………………（12分）
即
，推得km=3，……………………………………（13分）
这与km=－1矛盾，所以适合条件的k不存在.………………………（14分）