2006年高考模拟测试数学5
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
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（1）下列各式中，值为
的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知
，则
的大致图形是 （ ）
（3）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线AC1的长为
，
则三棱锥C—B1C1D1的体
积为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知等差数列{an}，公差为2，且S100=10000，则a1+a3+a5+…+a99= （ ）
（A）2500 （B）5050 （C）5000 （D）4950
（5）（理）如果θ是第二象限的角，那么直线
的倾斜角的大小是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（文）直线bx+ay=1（a＜0，b＜0＝的倾斜角的余弦值是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）（理）已知三棱锥P—ABC的三个侧面与底面全等，且底面边长BC=2，AB=AC=
，
则以BC为棱，以面BCP与面BCA为面的二面角的大小是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（文）已知三棱锥P—ABC的三个侧面与底面全等，且底面边长BC=2，AB=AC=，
则以BC为棱，以面BCP与面BCA为面的二面角的正弦值为 （ ）
（A）
（B）1 （C）
（D）
（7）如果不等式
成立的充分非必要条件是
，则实数m的取值范围是
（ ）
（A）
（B）
（C）
或
（D）
或
（8）（理）已知函数
，则
的值为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（文）若点P
在直线
上，则
的值为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）
展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为 （ ）
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（10）（理）已知圆锥曲线的参数方程为 
（α为参数），F1、F2为此曲线的两
焦点，若以此曲线所在直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
则过F1、F2的直线的极坐标方程为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（文）已知曲线C与C′关于直线
对称，若C的方程为
，
则C′的方程为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）设F1、F2是双曲线
的两个焦点，P是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2
平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹方程是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）有一位同学写了这样一个不等式：
，他发现，当c=1，2，
3时，不等式对一切实数x都成立，由此他作出如下猜测：
①当c为所有自然数时，不等式对一切实数x都成立；
②只存在有限个自然数c，对
不等式都成立；
③当
时，不等式对一切都成立；
④当
时，不等式对一切都成立．
则正确的是 （ ）
（A）①③ （B）② （C）①③④ （D）④
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（13）在等差数列{an}中，a3=0，S7=－14，已知等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6=
．
（14）若双曲线
的一条准线是y轴，则m=
．
（15）若A=
，从A中每次取出三个元素，使它们的和为3的倍数，
则满足上述条件的不同取法的种数有 种．（用数字作答）
（16）降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，
用上口直径为40cm，底面直径为28cm，深为
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量，如果在一次降雨过程中，用此桶盛的雨水正
好是桶深的
，则本次下雨的降水量是 （精确到1mm）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
（理）解关于x的不等式：
，（a＞0且a≠1）．
（文）解关于x的不等式：
，（a＞0且a≠1）．
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（18）（本小题满分12分）
已知z1=3+4
，z2=65
且
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）设z1、z2在复平面内所对应点分别为P、Q、O为坐标原点，以OP、OQ为边作
平行四边形OPRQ，求对角线OR的长及平行四边形OPRQ的面积．
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（19）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P—ABCD的侧面PAD与底面ABCD垂直，△PAD是边长为a的正三角形，ABCD为直角梯形， AB//CD，DC=2a，∠ADC=90°，∠DCB=45°，E为BP中
点，F在PC上且PF=
PC．
（Ⅰ）求证EF//平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E—PCD的体积．
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已知奇函数
（Ⅰ）试确定实数a的值，并证明f（x）为R上的增函数；
（Ⅱ）记
求
；
（Ⅲ）若方程
在（－∞，0）上有解，试证
．
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某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n（以月为单位）的关系为Tn=an+b，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
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（22）（本小题满分14分，文科只做（Ⅰ）、（Ⅱ），理科全做）
已知抛物线C：
的焦点为原点，C的准线与直线
的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求实数p的取值范围；
（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．
高考模拟测试5
数学参考答案及评标准
一、 选择题（每小题5分，满分60分）本题考查基本知识和基本运算。
（理科）（1）B（2）C（3）C（4）D（5）A（6）B（7）A（8）A（9）A（10）A（11）C（12）A
（文科）（1）B（2）C（3）C（4）D（5）A（6）B（7）A（8）B（9）A（10）A（11）C（12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
（13）
（14）m=12
（15）76 （16）32mm
三、解答题
（17）本题考查函数性质、不等式等基础知识；考查运算能力和分类讨论思想. 满分12分．
（理）解：原不等式等价于
（5分）即
（6分）
得
（7分） 
（8分）
当a＞1时，不等式解集为
（10分）
当0＜a＜1时，不等式解集为{
} （12分）
（文）解：
（6分）
（8分）
当0＜a＜1时，a2＜a，不等式解集为{
} （10分）
当a＞1时，不等式解集为
（12分）
（18）本题考查三角运算能力，考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力. 本题满分12分．
解：（Ⅰ）
（1分）
（2分）
（5分）
（6分）
（7分）
（Ⅱ）
（9分）
（10分）
又
（11分）
∴S OPRQ =OP·OQ·sin（β-α）=253 （12分）
（19）本题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分．
（I）证：∵侧面PAD⊥底面ABCD
CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
(2分)
同理AB⊥平面PAD且AB⊥AP
取DC、PC中点为H、G，连结BH、HG， 则BH⊥DC
又∠BCH=45°∴∠CBH=45°
由AB=AP=a，CH=HB=a，
又CD=2a,
DP=a, 
△ PBC中，G为PC中点，∴BG⊥PC
易得
∴△BGH为直角三角形，且BG⊥GH ∴GB⊥平面PDC （5分）
∴GB⊥CD 又CD⊥HB ∴CD⊥平面BGH ∴平面BGH∥平面PAD
∴BG∥平面PAD ∵EF∥BG ∴EF∥平面PAD （7分）
（II）∵BG⊥平面PDC，EF∥BG ∴EF⊥平面PDC
∴EF为三棱锥E—PDC的高 （9分）
且EF=
即
（12分）
（20）本题考查函数概念、函数奇偶性、单调性、值域以及数列等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分．
解：（I）
得
（2分）
设
在R上单调递增
（4分）
（II）
（5分）
（7分）
（III）
又f（x）为奇函数，且在R上为单调增函数
（9分）
当
欲使
上有解
（10分）
即
即
（12分）
（21）本题考查建立不等关系式、数列求和、解不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分１２分．
解：入世改革后经过n个月的纯收入为
万元
（3分）
不改革时的纯收入为
（6分）
又
（7分）
由题意建立不等式
（9分）
即
（11分）
答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． （12分）
（22）本题考查椭圆、抛物线的概念和性质，直线的性质；考查运算能力和逻辑思维能力，以及综合应用知识的能力．满分１４分．
解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
准线方程
且有m=4n.
（2分）
∵准线与直线交点在x轴上，交点为
又与x轴交于（－2，0），∴m=4，n=1
∴抛物线方程为y2=4（x+1） （4分）
（II）由
∴－1＜k＜1且k≠0
（5分）
（6分）
∴AB的中垂线方程为
得
（7分）
∴p∈（2，+∞） （8分）
（III）∵抛物线焦点F（0，0），准线x=－2
∴x=－2是Q的左准线
设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（±x，y） （9分）
（1） 若F为左焦点，则c=x＞0，b=y
∴a2=b2+c2=x2+y2
依左准线方程有
即y2=2x （x＞0） （12分）
（2） 若F为右焦点，则x＜0，故c=－x，b=y
∴a2=b2+c2=x2+y2 依左准线方程有
即
化简得2x2+2x+y2=0
即
（x＜0，y≠0） （14分）
（理）难度系数参考
总体难度0.60与0.59之间
各题难度系数参考:
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）
难度 0.96 0.92 0.89 0.95 0.92 0.85 0.8 0.8 0.85 0.83 0.45 0.45
题号 （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22）
难度 0.80 0.87 0.5 0.6 0.78 0.7 0.65 0.64 0.66 0.5
文科总体难度0.5