高考数学串讲(一) 函数
一,基础知识
1,函数的基本性质:
(1)函数的单调性:①(或)单调递增(或单调递减);
②单调递增(或单调递减)(或)。
(2)函数的周期性:,则称为的一个为期;若是所有
周期中一个最小的正周期,则称的周期是。
(3)函数的奇偶性:①是偶函数;
②是奇函数。(注:定义域需关于原点对称)。
(4)函数的连续性:在处连续(常数)。
(5)函数图像的对称性:若满足的图像
关于直线对称。
2,函数的图像:①,②,③,④,
⑤,⑥,⑦,⑧的图像。
3,函数的定义域与值域:
①定义域与值域的关系:与互换;
②极值:是的一个极值;
③最值:(i)对于定义域D内的任意,存在,使得,则;
对于定义域D内的任意,存在,使得,则
(ii)在闭区间内连续,则必有最大值与最小值.
(iii) 恒成立或
4,根的分布:若在闭区间内连续,且,
则至少存在一点,使得。
二,跟踪训练
1,(04广东)设函数。
(I)证明:当,且时,;
(II)点P()()在曲线上,求曲线在点P处的切线与轴
和轴的正向所围成的三角形面积表达式(用表示)。
2,(04广东)设函数,其中常数为整数。
(I)当为何值时,;
(II)定理:若函数在上连续,且与异号,则至少存在一点
,使。
试用上述定理证明:当整数时,方程在内有两个实根。
3,(05广东)设函数在上满足,,
且在闭区间上,只有。
(I)试判断函数的奇偶性;
(II)试求方程在闭区间上的根的个数,并证明你的结论。
4,(05全国III)已知函数。
(I)求的单调区间和值域;
(II)设,函数。若对于任意,总存在
,使得成立,求的取值范围。
5,(05辽宁)函数在区间内可导,导函数是减函数,且。
设,是曲线在点处的切线方程,并设函数
。
(I)用,,表示;
(II)证明:当时,;
三,简明提示
1,(I)由,,可证。
(II)切线方程为,。
2,(I),由,得;
(II)由,,,及
可证。
3,(I)是的对称轴,若是奇函数,有
=,与在上只有矛盾!同理可知它也不是
偶函数;得是非奇非偶函数。
(II)由
,又在上只有,知在上只有2个解,在上只有个解,在上只有400个解,共802个解。
4,(I)当时,是减函数;当时,是增函数。
的值域是。
(II)当时,,有为减函数,,
又,则,得。
5,(I);
(II)令,得;