高考数学串讲（一） 函数

一，基础知识

1，函数的基本性质：

（1）函数的单调性：①（或）单调递增（或单调递减）；

　　　　　　　　　 ②单调递增（或单调递减）（或）。

（2）函数的周期性：，则称为的一个为期；若是所有

　　　　　　　　　  周期中一个最小的正周期，则称的周期是。

（3）函数的奇偶性：①是偶函数；

　　　　　　　　　 ②是奇函数。（注：定义域需关于原点对称）。

（4）函数的连续性：在处连续（常数）。

（5）函数图像的对称性：若满足的图像

　　　　　　　　　　　 关于直线对称。

2，函数的图像：①，②，③，④，

　　　　　　　 ⑤，⑥，⑦，⑧的图像。

3，函数的定义域与值域：

①定义域与值域的关系：与互换；

②极值：是的一个极值；

③最值：(i)对于定义域D内的任意,存在,使得,则;

　　　　对于定义域D内的任意,存在,使得,则

(ii)在闭区间内连续,则必有最大值与最小值.

(iii) 恒成立或

4，根的分布：若在闭区间内连续，且，

则至少存在一点，使得。

二，跟踪训练

1，（04广东）设函数。

（I）证明：当，且时，；

（II）点P（）（）在曲线上，求曲线在点P处的切线与轴

和轴的正向所围成的三角形面积表达式（用表示）。

2，（04广东）设函数，其中常数为整数。

（I）当为何值时，；

（II）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点

，使。

试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。

3，（05广东）设函数在上满足，，

且在闭区间上，只有。

（I）试判断函数的奇偶性；

（II）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。

4，（05全国III）已知函数。

（I）求的单调区间和值域；

（II）设，函数。若对于任意，总存在

，使得成立，求的取值范围。

5，（05辽宁）函数在区间内可导，导函数是减函数，且。

设，是曲线在点处的切线方程，并设函数

。

（I）用，，表示；

（II）证明：当时，；

三，简明提示

1，（I）由，，可证。

（II）切线方程为，。

2，（I），由，得；

（II）由，，，及

可证。

3，（I）是的对称轴，若是奇函数，有

=，与在上只有矛盾！同理可知它也不是

偶函数；得是非奇非偶函数。

（II）由

，又在上只有，知在上只有2个解，在上只有个解，在上只有400个解，共802个解。

4，（I）当时，是减函数；当时，是增函数。

的值域是。

（II）当时，，有为减函数，，

又，则，得。

5，（I）；

（II）令，得；