2004-2005届高考数学仿真试题（五）（广东）
命题：廖美东 考试时间：2005-4-16
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中c表示底面周长，l表示斜
P（AB）=P（A）P（B） 高或母线长
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.满足x－1+y－1≤1的图形面积为
A.1 B.
C.2 D.4
2.不等式x+log3x<x+log3x的解集为
A.(0，1) B.(1，+∞）
C.(0,+∞) D.(－∞,+∞)
3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于右焦点到右顶点的距离的2倍，则双曲线的离心率e的值为
A. B.
C.
D.2
4.一个等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则抽取的是
A.a11 B.a10
C.a9 D.a8
5.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)满足f(9)=2,则f－1(log92)等于
A.2 B.
C.
D.±
6.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为
A.
B.
C.
D.
7.设O、A、B、C为平面上四个点，
=a，
=b，
=c，且a+b+c=0，a·b=b·c=c·a=－1,则a+b+c等于
A.2 B.2
C.3 D.3
8.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移
个单位，再作关于x轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin2x的图象，则f(x)是
A.cosx B.2cosx
C.sinx D.2sinx
9.椭圆
=1上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点坐标为
A.（5，0），（－5，0）
B.（
）（
）
C.（
）（－）
D.（0，－3）（0，3）
10.已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中所有的球除颜色外完全相同）.现随意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再从Q箱中随意取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的概率等于
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
11.已知(
)6的展开式中，不含x的项是
,则p的值是______.
12.点P在曲线y=x3－x+
上移动，设过点P的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是______.
13.在如图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方案有______种.
14.同一个与正方体各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是①矩形；②直角梯形；③菱形；④正方形中的______（写出所有可能图形的序号）.
三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.（本小题满分12分）
某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动.已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是
，出现绿灯的概率是，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是
.问：
（1）第二次闭合后，出现红灯的概率是多少？
（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？
16.(本小题满分12分)
已知△ABC的面积为1，tanB=,tanC=－2,求△ABC的边长及tanA.
17.(本小题满分13分)
如右图α－l－β是120°的二面角，A、B两点在棱l上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°,C在β内，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°.
（1）求三棱锥D－ABC的体积;
（2）求二面角D－AC－B的大小.
（3）求异面直线AB、CD所成的角.
18.(本小题满分13分)
已知△OFQ的面积为2
，且
·
=m，
（1）设<m<4,求向量与的夹角θ的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），=c，m=(
－1)c2,当
取最小值时，求此双曲线的方程.
19.(本小题满分14分)
设f(x)是定义在［－1，1］上的偶函数，f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x∈［2,3］时，g(x)=a(x－2)－2(x－2)3(a为常数).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在［0，1］上是增函数，求a的取值范围；
(3)若a∈(－6,6),问能否使f(x)最大值为4.
20.(本小题满分16分)
已知f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且y=f(x)的图象经过点（1，n2），数列{an}为等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为奇数时，设g(x)=［f(x)－f(－x)］，是否存在自然数m和M，使不等式m<g()<M恒成立？若存在，求出M－m的最小值；若不存在，说明理由.
2004-2005届高考数学仿真试题（五）（广东）
参考答案
一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B 9.D 10.B
二、11.3 12.［0,
∪［
,π 13.30 14.①③④
三、15.(1)如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是×,
如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为×.
∴第二次出现红灯的概率为×+×=
. 6分
（2）由题意，三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①出现绿、绿、红的概率为××；
②出现绿、红、绿的概率为××；
③出现红、绿、绿的概率为××； 10分
所求概率为××+××+××=
. 12分
16.tanA=tan［π－(B+C)］=－tan(B+C),
=－
. 2分
∵tanB=,0<B<,
∴sinB=
,cosB=
,
又tanC=－2,<C<π,
∴sinC=,cosC=－
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(－)+·= 6分
∵
∴a=
, 8分
又S△ABC=absinC=·
b2·=1,
解得b=
,于是a=, 10分
∴c=
. 12分
17.（1）过D向平面β作垂线，垂足为O,连结OA并延长至E，
∵AB⊥AD，OA为DA在平面β内的射影，
∴AB⊥OA，∴∠DAE为二面角α－l－β的平面角 2分
∴∠DAE=120°;∠DAO=60°,
∵AD=AB=2,∴DO=,
∵△ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2.
∴S△ABC=1,又D到平面β的距离DO=，
∴VD－ABC=
. 4分
（2）过O在β内作OM⊥AC，连结DM，则AC⊥DM，
∴∠DMO为二面角D－AC－B的平面角， 6分
在△DOA中，OA=2cos60°=1,
且∠OAM=∠CAE=45°,∴OM=
,
∴tanDMO=,
∴∠DMO=arctan. 8分
（3）在β内过C作AC的平行线交AE于F，
∠DCF为异面直线AB、CD所成的角 10分
∵AB⊥AF，AB⊥AD，CF∥AB，∴CF⊥DF，
又∠CAE=45°，即△ACF为等腰直角三角形，
又AF等于C到AB的距离，即为△ABC斜边上的高，
∴AF=CF=1，
∴DF2=AD2+AF2－2AD·AF·cos120°=7,
∴tanDCF=
,
∴∠DCF=arctan
,
即异面直线AB、CD所成的角为arctan. 13分
18.(1)由已知，得
2分
∴
4分
∴1<tanθ<4,则<θ<arctan4. 6分
（2）设所求的双曲线方程为
=1,(a>0,b>0),Q(x1,y1),则=(x1－c,y1)
∵△OFQ的面积y1=2,
∴y1=±
,
又由·=(c,0)·(x1－c,y1)=(x1－c)c=(－1)c2,
∴x1=c, 8分
=
≥
,
当且仅当c=4时，最小.
此时Q的坐标为(,)，或(，－).
由此可得
解得
11分
故所求方程为
=1. 13分
19.(1)∵f(x)与g(x)的图象关于直线x－1=0对称，
∴f(x)=g(2－x), 1分
当x∈［－1,0］时，2－x∈［2,3］,
∴f(x)=g(2－x)=－ax+2x3, 2分
又f(x)是偶函数，
∴x∈［0,1］时，－x∈［－1,0］
f(x)=f(－x)=ax－2x3, 3分
∴f(x)=
4分
(2)f′(x)=a－6x2,∵f(x)为［0，1］上的增函数，
∴f′(x)=a－6x2≥0, 6分
∴a≥6x2在x∈［0,1］上恒成立，
∵6x2≤6,∴a≥6. 8分
(3)当x∈［0,1］时，
由f′(x)=0,得x=
, 11分
由f()=4,得a=6,
∴a∈(－6,6)时,f(x)的最大值不可能为4. 14分
20.(1)由题意，f(1)=n2,即
a0+a1+a2+…+an=n2, 2分
令n=1,a0+a1=1,∴a1=1－a0,
令n=2,a0+a1+a2=4,∴a2=4－(a0+a1)=3,
令n=3,a0+a1+a2+a3=9,
∴a3=9－(a0+a1+a2)=5, 5分
∵{an}为等差数列，∴d=a3－a2=2,
∴a1=3－2=1,∴a0=0,an=2n－1. 6分
(2)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,
∵n为奇数，
∴f(－x)=－a1x+a2x2－a3x3+…+an－1xn－1－anxn,
g(x)=［f(x)－f(－x)］=a1x+a3x3+a5x5…+anxn.
g()=()+5()3+9()5+…+(2n－3)·()n－2+(2n－1)()n.
8分
g()=()3+5()5+…+(2n－3)()n+(2n－1)()n+2.
两式相减，得
g()=+4［()3+()5+…+()n］－(2n－1)·()n+2,
∴g()=
·()n－n·()n,
11分
令Cn=n·()n,
∵Cn+1－Cn=n·()n·
≤0,(n∈N*)
∴Cn+1≤Cn,Cn随n的增大而减小，
又
·()n随n的增大而减小.
∴g()为n的增函数，当n=1时，g()min=,
而（）n－n·()n<
.
∴≤g()<, 13分
∴使m<g()<M恒成立的自然数m的最大值为0，M的最小值为2，
∴M－m的最小值为2. 16分.