2005年高考题分章节汇编

第九章　直线、平面、简单几何体

一、选择题

1．(2005年春考·北京卷·理3)有如下三个命题：

①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；

②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；

③过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直．

其中正确命题的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ C ）

A．0　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．3

2．(2005年春考·北京卷·文3)下列命题中，正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ C ）

　　　 A．经过不同的三点有且只有一个平面

　　　 B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

　　　 C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

　　　 D．垂直于同一个平面的两个平面平行

3. (2005年春考·上海卷13)已知直线及平面，下列命题中的假命题是 　  ( D　)　　　　　　　　 

　　A．若，，则. 　　　　　　　B．若，，则.

　　C．若，，则.　　　　　　　D．若，，则.

4．(2005年高考·北京卷·理6文7)在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ C ）

　　　 A．BC//平面PDF　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．DF⊥PAE

　　　 C．平面PDF⊥平面ABC　　　　　　　　　　　　 D．平面PAE⊥平面ABC

5．(2005年高考·福建卷·理4文7)已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：

　 ①若　　　　　　　　　　　　　 ②若

　 ③若　 其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ C ）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　D．3

6．(2005年高考·福建卷·理8理11)如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成的角是（ D ）

　　　 A．　　　　 B．

　　　 C．　　　　 D．

7．(2005年高考·广东卷4)已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（ D ）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　 D．

8．(2005年高考·广东卷7)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

　　　 ①若；

　　　 ②若m、l是异面直线，；

　　　 ③若；

　　　 ④若

　　　 其中为假命题的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ C ）

　　　 A．①　　　　　　　　　　　B．②　　　　　　　　　　　 C．③　　　　　　　　　　　D．④

9．(2005年高考·湖北卷·理10)如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、 K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （ C ）

A．K　　　　　　　　　　　　B．H　　　　　　　　　　　　C．G　　　　　　　　　　　 D．B′

10．(2005年高考·湖北卷·文8)已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若；　 ②若；

　　　 ③若；　　　　　　　　　 ④若a与b异面，且相交；

　　⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.

　　其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ A ）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　　　　D．4

11．(2005年高考·湖北卷·文5)木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（ C ）

　　　 A．60倍　　　　　　　　　B．60倍　　　　　 C．120倍　　　　　　　　D．120倍

12．(2005年高考·湖南卷·理5)如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是底面A₁B₁C₁D₁的中心，则O到平面AB C₁D₁的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （B）

A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　

C．　　　　　　　　　D．

13．(2005年高考·湖南卷·文4)如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，则E到平面AB C₁D₁的距离为（ B ）

A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．

14．(2005年高考·辽宁卷4)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若； ②若；

③若；　　　　　　④若m、n是异面直线，，其中真命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ D ）

　　　 A．①和②　　　　　　　 B．①和③　　　　　　　　C．③和④　　　　　　　 D．①和④

15．(2005年高考·江西卷·理9文9)矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B—AC—D，则四面体ABCD的外接球的体积为　　　　　　　（ C ）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

16．(2005年高考·重庆卷·理7)对于不重合的两个平面与，给定下列条件：

　　　 ①存在平面，使得、都垂直于；

　　　 ②存在平面，使得、都平行于；

　　　 ③内有不共线的三点到的距离相等；

　　　 ④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，

　　　 其中，可以判定与平行的条件有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ B ）

　　　 A．1个　　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　　　D．4个

17．(2005年高考·重庆卷·文7)对于不重合的两个平面，给定下列条件：

　 ①存在平面，使得α、β都垂直于；

　 ②存在平面，使得α、β都平行于；

　 ③存在直线，直线，使得；

　 ④存在异面直线l、m，使得

　 其中，可以判定α与β平行的条件有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ B ）

　　　 A．1个　　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　　　D．4个

18．(2005年高考·重庆卷·理10)如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O—BCD的体积等于　　　　（ C ）

A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C． 　　　　　　　　　　D．

19．(2005年高考·重庆卷·文10)有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是　　　　　 （ C ）

A．4　　　　　　　　　　　　B．5　　　　　　　　　　　　C．6　　　　　　　　　　　　D．7

20．(2005年高考·江苏卷4)在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=2，A A₁=1，则点A到平面A₁BC的距离为　　　（B）

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

21．(2005年高考·江苏卷8)设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若，则；

②若，则；

③若，，则；

④若，则。

其中正命题的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（B）

A．1　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　　　　D．4

22．(2005年高考·浙江卷·理6文7)设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（D）

A． ①是真命题，②是假命题　　B． ①是假命题，②是真命题

C． ①②都是真命题　　　　　  D． ①②都是假命题

23．(2005年高考·山东卷·理8文9)设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ D ）

A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　 D．

24．(2005年高考·天津卷·理4文5)设为平面，为直线，则的一个充分条件是　　　　　　　　　　 　　　 （ D ）

　　　 A． 　　　　　　　　　　B．

　　　 C． 　　　　　　　　　　　　　D．

25．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理2文2)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为　　　　　　　　　 （ C ）

　　　 A．8　　　　　　　 B．8　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　 D．4

26．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理4文4)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（ C ）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

27．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理11)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ B　）

　　　 A．18对　　　　　　　　　B．24对　　　　　　　　　C．30对　　　　　　　　　D．36对

28．(2005年高考·全国卷II·理2文2)正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P、Q、R分别是AB、AD、B₁C₁的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ D　）

　　　 A．三角形　　　　　　　 B．四边形　　　　　　　　C．五边形　　　　　　　 D．六边形

29．(2005年高考·全国卷II·理12)将半径都为1的4个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ C　）

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　D．

30．(2005年高考·全国卷Ⅲ·理4文4)设三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积为V，P、Q分别是侧棱AA₁、CC₁上的点，且PA=QC₁，则四棱锥B—APQC的体积为　　　　　　　　　　（ C ）

A．　　　 　　　　B．　　　　　　　　　 C．　　 　　　　　 D．

31．(2005年高考·全国卷Ⅲ·理11文11)不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （ D ）

　A．3个　 　　　　　　　 B．4个　　　　　　　　 C．6个 　　　　　　　　　D．7个

二、填空题

1．(2005年春考·北京卷·理12文12)如图，正方体的棱长为，将该正方体沿对角面切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．

2．(2005年高考·上海卷·理11文12)有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________.

3．(2005年高考·湖南卷·文15)已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.

　 （i）当满足条件　　　　　 时，有；（ii）当满足条件　　　　　 时，有.

　　　 （填所选条件的序号）③⑤　②⑤

4．(2005年高考·辽宁卷14)如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，

　　　 A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是　　　　 .

5．(2005年高考·江西卷·理15)如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=，BB₁=2，，E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为　　　　　　  .

6．(2005年高考·江西卷·文15)如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=BC，且，则PA与底面ABC所成角为　　 　　　　　　　  .

7．(2005年高考·浙江卷·理12文12)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

8．(2005年高考·山东卷·理16文16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：①若则

②若则

③若，则

④是两条异面直线，若，则

上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）③④

9．(2005年高考·天津卷·理12文13)如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_______　 _.

11．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理16文16)在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则

　  ①四边形BFD′E一定是平行四边形.

②四边形BFD′E有可能是正方形.

③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形.

④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.

以上结论正确的为　　　　　　　 .（写出所有正确结论的编号）①③④

12．(2005年高考·全国卷II·理16文16)下面是关于三棱锥的四个命题：

　　　 ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是　　　　　　　 （写出所有真命题的编号）. ①，④

三、解答题

1．（本小题满分14分）(2005年春考·北京卷·理16)

如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、．将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M．求：

（1）二面角的大小；

（2）异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）．

本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．满分14分．

解（Ⅰ）连接AM，A₁G

∵G是正三角形ABC的中心，

且M为BC的中点，

∴A，G，M三点共线，AM⊥BC．

∵B₁C₁∥BC，

∴B₁C₁⊥AM于G，

即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁，

∴∠A₁GM是二面角A₁—B₁C₁—M的平面角．

∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影为M，

∴A₁M⊥MG，∠A₁MG=90°

在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM得∠A₁GM=90°

即二面角A₁—B₁C₁—M的大小是60°

（Ⅱ）过B₁作C₁C的平行线交BC于P，则∠A₁B₁P等于异面直线A₁B₁与CC₁所成的角．

由PB₁C₁C是平行四边形得B₁P=C₁C=1=BP，

PM=BM—BP=A₁B₁=AB₁=2．

∵A₁M⊥面BB₁C₁C于M，

∴A₁M⊥BC，∠A₁MP=90°．

在Rt△A₁GM中，A₁M=A₁G·

在Rt△A₁MP中，

在△A₁B₁P中，由余弦定理得

，

∴异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小为arccos

2．（本小题满分14分）(2005年春考·北京卷·文16)

如图，正三棱锥S—ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）二面角S—BC—A的大小；

（Ⅲ）正三棱锥S—ABC的体积.

本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．满分14分．

解：（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，M为BC中点，

∴SM⊥BC，AM⊥BC.

由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即

（Ⅱ）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，

∵SM⊥BC，AM⊥BC，

∴∠SMA是二面角S—BC—A的平面角.

在Rt△SGM中，

∵

∴∠SMA=∠SMG=60°，

即二面角S—BC—A的大小为60°。

（Ⅲ）∵△ABC的边长是3，

∴

∴

3. (本题满分14分) (2005年春考·上海卷19)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

　　已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.（1）证明：；

　　（2）求底面中心到侧面的距离.

　 [证明]（1）取边的中点，连接、，

　　　　  则，，故平面.　　　　　　　　 …… 4分

　　　　  ∴ .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  …… 6分

　　[解]（2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角.

　　过点作为垂足，则就是点到侧面的距离.　　　　　　 …… 9分

设为，由题意可知点在上，

∴ ，.

, …… 11分

　　　　∴ ，

　　　　∵ ，∴ .

　　　  即底面中心到侧面的距离为3.　　　　　　　　　　　　　　　 …… 14分

4．（本小题共14分）(2005年高考·北京卷·理16)

　如图，在直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=，

AC⊥BD，垂足为E.

　 （Ⅰ）求证BD⊥A₁C；

　 （Ⅱ）求二面角A₁—BD—C_­1的大小；

（Ⅲ）求异面直线AD与BC₁所成角的大小.

解法一：

　 （Ⅰ）在直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

∵A₁A⊥底面ABCD，

∴AC是A₁C在平面ABCD上的射影，

∵BD⊥AC， ∴BD⊥A₁C.

　 （Ⅱ）连结A₁E，C₁E，A₁C₁.

与（Ⅰ）同理可证BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴∠A₁EC₁二面角A₁—BD—C₁的平面角.

∵AD⊥DC， ∴∠A₁D₁C₁=∠ADC=90°，

又A₁D₁=AD=2，D₁C₁=DC=2， AA₁=，且AC⊥BD，

∴A₁C₁=4，AE=1，EC=3，　∴A₁E=2，C₁E=2，

在△A₁EC₁中，A₁C₁²=A₁E²+C₁E²，　∴∠A₁EC₁=90°，

即二面角A₁—BD—C₁的大小为90°.

　 （Ⅲ）过B作BF//AD交AC于F，连结FC₁，

　　则∠C₁BF就是AD与BC₁所成的角.

∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，　∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，

∴FC₁=.　在△BFC₁中，

∴

即异面直线AD与BC₁所成角的大小为.

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

连结A₁E，C₁F，A₁C₁.

与（Ⅰ）同理可证，BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴∠A₁EC₁为二面角A₁—BD—C₁的平面角.

（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C₁（0，，，），B（3，，0）

∴异面直线AD与BC₁所成角的大小为arccos.

解法三：

（I）同解法一.

（II）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E.

　　 连结A₁E，C₁E，A₁C₁.

　　 与（I）同理可证，BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

　　 ∴∠A₁EC₁为二面角A₁—BD—C₁的平面角.

　　 由E（0，0，0），A₁（0，－1，

　　　

.

　  （Ⅲ）如图，由A（0，－1，0），D（，0，0），B（，0，0），C₁（0，3，）.

得.

∵

∴

∴异面直线AD与BC₁所成角的大小为arccos.

5．（本小题共14分）(2005年高考·北京卷·文16)

　　　 如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

　 （Ⅰ）求证AC⊥BC₁；

（Ⅱ）求证AC₁//平面CDB₁；

（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值.

解法一：

　 （Ⅰ）∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

　　　 ∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，

∴AC⊥BC­₁.

（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，

 ∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，

　∴DE//AC₁，

　∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

　∴AC₁//平面CDB₁.

（Ⅲ）∵DE//AC₁，∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角，

　在△CED中，ED=

　

　∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

　解法二：

　∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

　∴AC，BC，C₁C两两垂直.

　如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，

　y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

　则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），

　B₁（0，4，4），D（，2，0）.

（Ⅰ）

　

（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，则E（0，2，2）.

　

　

（Ⅲ）

　

　　　 ∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

6．（本题满分12分）(2005年高考·上海卷·理17)

已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，ABCD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

[解法一]由题意AB//CD，是异面直线BC₁与DC所成的角.

连结AC₁与AC，在Rt△ADC中，可得，

又在Rt△ACC₁中，可得AC₁=3.

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，

得

又在中，可得，

在

∴异而直线BC₁与DC所成角的大小为

[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立直

角坐标系.

则C₁（0，1，2），B（2，4，0）

所成的角为，

则

∴异面直线BC₁与DC所成角的大小为

7．（本题满分12分）(2005年高考·上海卷·文17)

已知长方体中，M、N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，与平面ABCD所成角的大小为，求异面直线与MN所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

[解]联结B₁C，由M、N分别是BB₁和BC的中点，得B₁C//MN

∴∠DB₁C就是异面直线B₁D与MN所成的角.

联结BD，在Rt△ABD中，可得，

又BB₁⊥平面ABCD.

∠B₁DB是B₁D与平面ABCD的所成的角，

∴∠B₁DB=60°.

在Rt△B₁BD中，BB₁=BDtan60°=，

又DC⊥平面BB₁C₁C， ∴DC⊥B₁C，

在Rt△CB₁C中，

∴∠DB₁C=

即异面直线B₁D与MN所成角的大小为.

8．（本小题满分12分）(2005年高考·福建卷·理20文21)

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想

象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）平面ACE.　 

∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.

　

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B—AC—E的平面角.

由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又直角

，

∴二面角B—AC—E等于

（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，　

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O—xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

 设平面AEC的一个法向量为，

则

　　　 解得

　　　 令得是平面AEC的一个法向量.

　　　 又平面BAC的一个法向量为，

　　　

　　　 ∴二面角B—AC—E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

9．（本小题满分14分）(2005年高考·广东卷16)

如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.

　 （Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；

　 （Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

（I）证明：∵，

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．

同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

所以，PA⊥平面ABC．

又∵，

而，

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB，

∴PB⊥平面CEF．

（II）由（I）知PB⊥CE,　 PA⊥平面ABC，

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，

EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角．

，

二面角B—CE—F的大小为．

10．（本小题满分12分）(2005年高考·湖北卷·理20)

　　　 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.　 （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、

B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、

P（0，0，2）、E（0，，1），

从而

设的夹角为θ，则

∴AC与PB所成角的余弦值为.

　 （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则

，由NE⊥面PAC可得，

　∴

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.

解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

在△AOE中，AO=1，OE=

∴

即AC与PB所成角的余弦值为.

 （Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.

连PF，则在Rt△ADF中

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.

∴N点到AB的距离，N点到AP的距离

11．（本小题满分12分）(2005年高考·湖北卷·文20)

　　如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1.

　 （Ⅰ）求BF的长；

　 （Ⅱ）求点C到平面AEC₁F的距离.

本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC₁于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

又∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH.

∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁.　∴DF=C₁H=2.

（Ⅱ）延长C₁E与CB交于G，连AG，

则平面AEC₁F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C₁M，

由三垂线定理可知AG⊥C₁M.由于AG⊥面C₁MC，且

AG面AEC­₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC.在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC₁F的距离.

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC₁F为平行四边形，

（II）设为平面AEC₁F的法向量，

的夹角为a，则

∴C到平面AEC₁F的距离为

12．（本题满分12分）(2005年高考·湖南卷·理17文18)

　　　如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2.

　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O₁的大小.

解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

　　　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁

所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　　 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），

　　　 B（0，3，0），C（0，1，）

图3

　　　 O₁（0，0，）.

　　　 从而

　　　 所以AC⊥BO₁.

（II）解：因为所以BO₁⊥OC，

由（I）AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.

设是0平面O₁AC的一个法向量，

由　　得.

设二面角O—AC—O₁的大小为，由、的方向可知，>，

　　　 所以cos，>=

　　　 即二面角O—AC—O₁的大小是

解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，

　 　所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

图4

　　　 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO₁，

　　　 OC是AC在面OBCO₁内的射影.

　　　 因为　　，

　　　 所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，从而OC⊥BO₁

　　　 由三垂线定理得AC⊥BO₁.

（II）解 由（I）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

　　　 设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F（如图4），则EF是O₁F在平面AOC

　　　 内的射影，由三垂线定理得O₁F⊥AC.

　　　 所以∠O₁FE是二面角O—AC—O₁的平面角.

　　　 由题设知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

　　　 所以，

　　　 从而，　　 又O₁E=OO₁·sin30°=，

　　　 所以　即二面角O—AC—O₁的大小是

13．（本小题满分12分）(2005年高考·辽宁卷17)

已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，

△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

　 （Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；

　 （Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；

　 （Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的

　　　　 球面上，求△ABC的边长.

本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考

查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.

（Ⅰ）证明： 连结CF.

……4分

（Ⅱ）解法一：

为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则

……………………8分

解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌

得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.

设AB=a，则　 …………8分

（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.

，的边长为.………12分

解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.

连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形.　设AB=x，球半径为R.

.……12分

14．（本小题满分12分）(2005年高考·江西卷·理20文20)如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D₁E⊥A₁D；

　 （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

　 （3）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为.

解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

　∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，

，设平面ACD₁的法向量为，则

也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

（3）设平面D₁EC的法向量，∴

由　令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为

15．（本小题满分13分）(2005年高考·重庆卷·理20)

　　　 如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，E为棱CC₁上异于C、C₁的一点，EA⊥EB₁，已知AB=，BB₁=2，BC=1，∠BCC₁=，求：

　 （Ⅰ）异面直线AB与EB₁的距离；

　 （Ⅱ）二面角A—EB₁—A₁的平面角的正切值.

　　　 解法一：

　 （Ⅰ）因AB⊥面BB₁C₁C，故AB⊥BE.

又EB₁⊥EA，且EA在面BCC₁B₁内的射影为EB.

由三垂线定理的逆定理知EB₁⊥BE，因此BE是异面直线

AB与EB₁的公垂线，

在平行四边形BCC₁B₁中，设EB=x，则EB₁=，

作BD⊥CC₁，交CC₁于D，则BD=BC·

在△BEB₁中，由面积关系得.

（负根舍去）

解之得CE=2，故此时E与C₁重合，由题意舍去.

因此x=1，即异面直线AB与EB₁的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG//B₁A₁，则GE⊥面BCC₁B，故GE⊥EB₁且GE在圆A₁B₁E内，

又已知AE⊥EB₁

故∠AEG是二面角A—EB₁—A₁的平面角.

因EG//B₁A₁//BA，∠AEG=∠BAE，故

解法二：（Ⅰ）

而BB₁C₁C得AB⊥EB₁从而=0.

　　　 设O是BB₁的中点，连接EO及OC₁，则在Rt△BEB₁中，EO=BB₁=OB₁=1，

　　　 因为在△OB₁C₁中，B₁C₁=1，∠OB₁C₁=，故△OB₁C₁是正三角形，

　　　 所以OC₁=OB₁=1，

　　　 又因∠OC₁E=∠B₁C₁C－∠B₁C₁O=故△OC₁E是正三角形，

　　　 所以C₁E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1，

　　　 即异面直线AB与EB₁的距离是1.

（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB₁—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，

BE=1，得tanAEB=.

又由已知得平面A₁B₁E⊥平面BB₁C₁C，

故二面角A—EB₁—A₁的平面角，故

解法三：

　 （I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.

　　　 由于BC=1，BB₁=2，AB=，∠BCC₁=，

　　　 在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中有

　　　 B（0，0，0），A（0，0，），B₁（0，2，0），

　　　

　　　 设

　　　

又AB⊥面BCC₁B₁，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB₁的公垂线，

则，故异面直线AB、EB₁的距离为1.

（II）由已知有故二面角A—EB₁—A₁的平面角的大小为向量

的夹角.

16．（本小题满分13分）(2005年高考·重庆卷·文20)

　　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求

　 （Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；

　 （Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.

解法一：

（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE

是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知

EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.

设DE=x，因△DAE∽△CED，故（负根舍去）.

从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，

故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.

因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.

因此∠EHG为二面角的平面角.

在面PDC中，PD=，CD=2，GC=

因△PDC∽△GHC，故，

又

故在

即二面角E—PC—D的大小为

解法二：

（Ⅰ）以D为原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，

C（0，2，0）设

　由，

即　由，

又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得，故异面直线PD、

CE的距离为1.

（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由得

即作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），

则

由，

又由F在PC上得

因故平面E—PC—D的平面角的大小为向量的夹角.

故　即二面角E—PC—D的大小为

17．（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二、第三满分各4分）(2005年高考·江苏卷21)如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120⁰。

（Ⅰ）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）证明：BC⊥平面SAB；

（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小。（本小问不必写出解答过程）

（21）（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F，

则∠DCF=∠CDF=60⁰，∴△CDF为正三角形，∴CF=DF。

又BC=DE，∴BF=EF。因此，△BFE为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=60⁰，∴BE//CD

所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角。

∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，∴SB=，同理SE=，

又∠BAE=120⁰，所以BE=，从而，cos∠SBE=，∴∠SBE=arccos。

所以异面直线CD与SB所成的角是arccos。

(Ⅱ) 由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=120⁰，

∴∠ABE=30⁰，又∠FBE =60⁰，∴∠ABC=90⁰，∴BC⊥BA∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE，

∴SA⊥BC，又SABA=A，∴BC⊥平面SAB。

（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小。

18．(2005年高考·浙江卷·理18)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

　 (Ⅰ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

　 (Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

解：方法一：

(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，

，

(Ⅱ)

，

又，

PA与平面PBC所成的角的大小等于，

（Ⅲ）由(Ⅱ)知，，∴F是O在平面PBC内的射影

∵D是PC的中点，

若点F是的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

，即

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

方法二：

，，

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）

设则，

设，则

(Ⅰ)D为PC的中点，

，

又，

(Ⅱ)，即，

可求得平面PBC的法向量，

，

设PA与平面PBC所成的角为，则

，

（Ⅲ）的重心，

，

，

又，

，即，

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

19．(2005年高考·浙江卷·文18)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

　 (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

　 (Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小．

解：方法一：

(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，

 

(Ⅱ)

方法二：

20．(本小题满分12分) (2005年高考·山东卷·理20文20)

如图，已知长方体

直线与平面所成的角为，垂直于

，为的中点.

（I）求异面直线与所成的角；

（II）求平面与平面所成的二面角；

（III）求点到平面的距离.

解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系

由已知可得，

又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得

（I）因为所以=

易知异面直线所成的角为

（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由

即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，

所以距离=所以点到平面的距离为

21．（本小题满分12分）(2005年高考·天津卷·理19文19)

如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点.

（Ⅰ）求与底面ABC所成的角；

（Ⅱ）证明//平面；

（Ⅲ）求经过四点的球的体积.

本小题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.

　 （Ⅰ）解：过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H.

　  连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是

∠A₁AH为A₁A与底面ABC所成的角.

∵∠A₁AB=∠A₁AC， ∴AG为∠BAC的平分线.

又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G为BC的中点

因此，由三垂线定理，A₁A⊥BC.

∵A₁A//B₁B，且EG//B₁B，　EG⊥BC　于是

∠AGE为二面角A—BC—E的平面角，即

∠AGE=120°

由于四边形A₁AGE为平行四边形，得∠A₁AG=60°，

所以，A₁A与底面ABC所成的角为60°，

　 （Ⅱ）证明：设EG与B₁C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.

在平行四边形AGEA₁中，因F为A₁A的中点，故A₁E//FP.

而FP平面B­₁FC，A₁E//平面B₁FC，所以A₁E//平面B₁FC.

　 （Ⅲ）解：连结A₁C，在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，∠A₁AC=∠A₁AB，

A₁A=A₁A，则△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B，由已知得 A₁A=A₁B=A₁C=a.

又∵A₁H⊥平面ABC，　∴H为△ABC的外心.

设所求球的球心为O，则O∈A₁H，且球心O与A₁A中点的连线OF⊥A₁A.

在Rt△A₁FO中，　

故所求球的半径，球的体积　

22．（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷Ⅰ·理18文18)

　　　 已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DE=AB=1，M是PB的中点.

　 （1）证明：面PAD⊥面PCD；

　 （2）求AC与PB所成的角；

　 （3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.

方案一：

（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，

则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形.　由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，　　

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

.　　∴AB=2，

故所求的二面角为

方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.

（Ⅰ）证明：因

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

要使

为所求二面角的平面角.

23．（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷II·理20文20))

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；

（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.

本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力。满分12分。

证明：（Ⅰ）证明：连结EP， 底面ABCD，DE在平面ABCD内，。

又CE＝ED，PD＝AD＝BC，

F为PB中点，∴由三垂线定理得，∴在中，PF＝AF。

又PE＝BE＝EA，

PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF平面PAB。

　　（Ⅱ）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝

∴PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AFPB。

PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB平面AEF。

连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH平面AEF，GAH为AC与平面AEF所成的角。

　　由EGC∽BGA可知EG＝，

　　由ECH∽EBF可知，

∴

∴与平面所成的角为

24．(本小题满分12分) (2005年高考·全国卷Ⅲ·理18文19)

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．

　 （Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；

　 （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

　　　 证明：方法一：（Ⅰ）证明：

　　

　 （Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AF，BE，

∵△VAD是正三形， ∴AE⊥VD，AE=

∵AB⊥平面VAD，　 ∴AB⊥AE.

又由三垂线定理知BE⊥VD.　因此，tan∠AEB=

即得所求二面角的大小为

方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.

　 （Ⅰ）证明：不防设作A（1，0，0），

则B（1，1，0）， ，　

由得AB⊥VA.　　又AB⊥AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直.　∴AB⊥平面VAD.

　 （Ⅱ）解：设E为DV中点，则，

由

因此，∠AEB是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为