2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（人教版）(理工农林医类)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

正棱台、圆台的侧面积公式 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示 斜高或母线长 台体的体积公式 其中R表示球的半径

三角函数的和差化积公式　　　　　 　　　

　　

　

　

　　

一、选择题

1．设集合，，则集合中元素的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．1　　　　　　　　　　B．2 　　　　　　　　C．3　　　　 　　　　　D．4

2．函数的最小正周期是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A． 　　　　　　　　　B． 　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

3．设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则　 （　　）

　　　A．　 　　　　 B．　 　　　C．　 　　　　 D．

4．圆在点处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．　 　　　　　　　　　　　　　B．　

　　　C．　　　　　　　　　　　　　　　D．

5．函数的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．　　　　　　　　　　　　　B．　

　　　C．　　　　　　　　　　　　　　　　D．

6．设复数的辐角的主值为，虚部为，则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．　 　　B．　　 C．　 　　　　 D．

7．设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（　　）

　　　A．　　　 　　　　　　B． 　　　　　 C．　　  　　　　　D．

8．不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　A．　 　　　　　　　B．　C．　　　　　 D．

9．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为　　　　　　 （　　）

　　　A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　 　　　　　　　D．

10．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　A．　 　　　　　　 B．　　　　　　 C．　 　　　　　　　　　D．

11．设函数　，则使得的自变量的取值范围为（　　）

　　　A．　　　　　　　　　　　　　　 B．　

　　　C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

12．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（　　）

　　　A．12种　　 　　　　　 B．24种　　 　　　　C．36种　　　　　　　 D．48种

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

13．用平面截半径为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为　　　　　  .

14．函数在区间上的最小值为　　　　　　  .

15．已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则　　　　　 .

16．设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为　　　　　　 .

三、解答题（6道题，共76分）

17．（本小题满分12分）已知为锐角，且，求的值.

18．（本小题满分12分）解方程　 .

19．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

20．（本小题满分12分）三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，

（1）求证：AB ⊥ BC；

P

（2）设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角的大小.

21．（本小题满分12分）设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.

（1）求实数的取值范围；

（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，求直线的方程.

22．（本小题满分14分）已知数列的前项和满足.

（1）写出数列的前三项；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有 .

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学参考答案（人教版）(理)

1.B　2.C  3.B　4.D　5.A  6.A　7.C　8.D  9.C　10.B　11.A　12.C　

13．　　14．1　 15．－2　 16．

17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分.

　　解：原式　因为

所以　.　 因为为锐角，由

所以　原式

18．本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.满分12分.

解：当时，原方程化为 

　 解得　　 无解.

由舍去.

当 时，原方程化为  　

解得 　无解.　

19．本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.满分12分.

　　解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800.

　　蔬菜的种植面积　

　　所以 　

当

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m².

20．本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.

　　（Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.

　　因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，

所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，

可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.

（Ⅱ）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.

因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF.

因此，PB⊥平面AFC，

所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，

∠ACF为AC与平面PBC所成的角.

在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD=

在Rt△PDC中，DC=

在Rt△PDB中，

在Rt△FDC中，　所以∠ACF=30°.

即AC与平面PBC所成角为30°.

21．本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）由题设有　设点P的坐标为由PF₁⊥PF₂，得

　 化简得　 　 ①

将①与联立，解得　

由　 所以m的取值范围是.

（Ⅱ）准线L的方程为设点Q的坐标为，则

　 　②

将 代入②，化简得 

由题设　，得 ，　　无解.

将 代入②，化简得

由题设 ，得  .

解得m=2.　 从而，

得到PF₂的方程　

22．本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

　　（Ⅰ）解：由

由

由

（Ⅱ）解：当时，有

　

　……　

所以　

　　　　

经验证a₁也满足上式，所以　

（Ⅲ）证明：由通项公式得

当且n为奇数时，　

　　　　　　　　　　　　　　　　

当为偶数时，

当为奇数时，

所以对任意整数m>4，有