2004年全国普通高等学校招生全国统一考试
数 学（广东卷）
一、选择题（共12小题，每题5分，计60分）
1．已知平面向量
=（3，1），
=（x，–3），且
，则x=
（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
2．已知
则
（ ）
A．
B．
C． 
D．
3．设函数
在x=2处连续,则a=
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
的值为
（ ）
A．－1
B．0 C． 
D．1
5．函数f(x)
是
（ ）
A．周期为
的偶函数 B．周期为的奇函数
C． 周期为2的偶函数 D．.周期为2的奇函数
6．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （ ）
A．0.1536 B． 0.1808 C． 0.5632 D． 0.9728
7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ）
A．
B． 
C． 
D． 
8．若双曲线
的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）
A． 6 B． 8 C． 1 D． 4
9．当
时,函数
的最小值是
（ ）
A． 4 B． C．2
D．
10．变量x、y满足下列条件：
则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是 （ ）
A． ( 4.5 ,3 ) B． ( 3,6 ) C． ( 9, 2 ) D． ( 6, 4 )
11．若
则 （ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0
与直线 x–y+1=0的交点在( )
A． 第四象限
B． 第三象限
C．第二象限
D． 第一象限
二、填空题(共4小题，每题4分，计16分)
13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)
14．已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = .
15．由图(1)有面积关系: 
则由(2) 有体积关系:
16． 函数
的反函数
三、解答题(共6小题,74分)
17． (12分)已知
成公比为2的等比数列(
也成等比数列. 求
的值.
18． 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
19． (12分)设函数
(1) 证明: 当0< a < b ,且
时,ab >1;
(2) 点P (x0,
y0 ) (0< x0 <1 )在曲线
上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).
20． (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
21． (12分)设函数
其中常数m为整数.
(1) 当m为何值时,
(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根.
22．(14分)设直线
与椭圆
相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB． 求直线的方程.
2004年普通高等学校招生全国统一考试
广东数学标准答案
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| A卷 | B | C | B | A | A | D | B | C | D | B | A | C |
| B卷 | C | A | C | A | B | D | D | A | A | B | D | B |
二、填空题：
（13）
（14）－2i
(15)
(16)
三、解答题
17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α
∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，
18．解：（I）以A为原点，
分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
于是，
设向量
与平面C1DE垂直，则有
（II）设EC1与FD1所成角为β，则
19．证明：（I）
故f(x)在（0，1
上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和
故
（II）0<x<1时，
曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：
∴切线与x轴、y轴正向的交点为
故所求三角形面积听表达式为：
20．解：如图，
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA=PB，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故PB－ PA=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得
，∵PB>PA,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心
处.
21．（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且
当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)
根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且
对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m
故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0
(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,
函数f(x)=x-ln(x+m),在
上为连续减函数.
由所给定理知，存在唯一的
而当整数m>1时，
类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在
上为连续增函数且 f(1-m)与
异号，由所给定理知，存在唯一的
故当m>1时，方程f(x)=0在
内有两个实根。
22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为
y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
依题意有
，由
若
，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由
故l的方程为
(ii)当b=0时，由(1)得
由
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
综上所述，故l的方程为、和