高考数学140分专项训练-30道压轴题及答案

2014-5-11 0:13:25 下载本试卷

1.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点)的准线与x轴相交于点,过点的直线与椭圆相交于两点。

 (1)求椭圆的方程及离心率;

(2)若,求直线的方程;

(3)设),过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点,证明. (14分)

2已知函数对任意实数x都有且当

(1)    时,求的表达式。

(2)    证明是偶函数。

(3)    试问方程是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没有实数根,请说明理由。当

3.(本题满分12分)如图,已知点F(0,1),直线L:y=-2,及圆C:

(1)    若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1,求动点M的轨迹E的方程;

(2)    过点F的直线g交轨迹E于G(x1,y1)、H(x2,y2)两点,求证:x1x2 为定值;

(3)    过轨迹E上一点P作圆C的切线,切点为A、B,要使四边形PACB的面积S最小,求点P的坐标及S的最小值。

4.以椭圆=1(a>1)短轴一端点为直角顶点,作椭圆内接等腰直角三角形,试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

5 已知,二次函数fx)=ax2bxc及一次函数gx)=-bx,其中abcRabcabc=0.

(Ⅰ)求证:fx)及gx)两函数图象相交于相异两点;

(Ⅱ)设fx)、gx)两图象交于AB两点,当AB线段在x轴上射影为A1B1时,试求A1B1的取值范围.

6  已知过函数f(x)=的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3。

(1)    求a、b的值;

(2)    求A的取值范围,使不等式f(x)≤A-1987对于x∈[-1,4]恒成立;

(3)    令。是否存在一个实数t,使得当时,g(x)有最大值1?

7  已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影为H,︱︱是2和的等比中项。

(1)    求动点P的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;

(2)    若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程。

8.已知数列{an}满足

  (1)求数列{bn}的通项公式;

  (2)设数列{bn}的前项和为S­n,试比较Sn的大小,并证明你的结论.

9.已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线对称.

(Ⅰ)求双曲线C的方程;

(Ⅱ)设直线与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过M(-2,0)及AB的中点,求直线轴上的截距b的取值范围;

(Ⅲ)若Q是双曲线C上的任一点,为双曲线C的左,右两个焦点,从的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.

10. 对任意都有

(Ⅰ)求的值.

(Ⅱ)数列满足:=+,数列是等差数列吗?请给予证明;

(Ⅲ)令

试比较的大小.

11.   :如图,设OAOB是过抛物线y2=2px顶点O的两条弦,且=0,求以OAOB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)

12.知函数f(x)=log3(x2-2mx+2m2+)的定义域为R
(1)求实数m的取值集合M
(2)求证:对mM所确定的所有函数f(x)中,其函数值最小的一个是2,并求使函数值等于2的m的值和x的值.

13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)=

   (1). 求f(的值。

   (2)。证明:f(x)在[上是增函数。

   (3)。对任意正数x1、x2,求证:

14.已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项的和.对于任意的,都有.

I、求数列的通项公式.

II、若对于任意的恒成立,求实数的最大值.

15.( 12分)已知点H(-3,0),点Py轴上,点Qx轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足·=0,=-

(1)当点Py轴上移动时,求点M的轨迹C

(2)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于AB两点,若在x轴上存在一点Ex0,0),使得△ABE为等边三角形,求x0的值.

16.(14分)设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1fn(x)],an=,其中nN*.

(1)   求数列{an}的通项公式;

(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=,其中nN*,试比较9T2nQn的大小.

17. 已知=(x,0),=(1,y),(+).

(I) 求点(x,y)的轨迹C的方程;

(II) 若直线L:y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点,D(0,–1),且有 AD=BD,试求m的取值范围.

18.已知函数对任意实数p、q都满足

   (1)当时,求的表达式;

   (2)设求证:

   (3)设试比较与6的大小.

19.已知函数若数列:…,

成等差数列.

  (1)求数列的通项

  (2)若的前n项和为Sn,求

  (3)若,对任意,求实数t的取值范围.

20.已知△OFQ的面积为

  (1)设正切值的取值范围;

  (2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),

取得最小值时,求此双曲线的方程.

  (3)设F1为(2)中所求双曲线的左焦点,若A、B分别为此双曲线渐近线l1l2上的动

 
点,且2AB=5F1F,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

21、已知函数是偶函数,是奇函数,正数数列满足

①   求的通项公式;

②若的前项和为,求.

22、直角梯形ABCD中∠DAB=90°,ADBCAB=2,ADBC.椭圆CAB为焦点且经过点D

(1)建立适当坐标系,求椭圆C的方程;

(2)若点E满足,问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于MN两点且,若存在,求出直线lAB夹角的范围,若不存在,说明理由.

23、.设函数

  (1)求证:对一切为定值;

  (2)记求数列的通项公式及前n项和.

24. 已知函数是定义在R上的偶函数.当X0时, =.

(I)        求当X<0时, 的解析式;

(II)      试确定函数= (X0)在的单调性,并证明你的结论.

(III)    若,证明:<2.


25、已知抛物线的准线与轴交于点,过作直线与抛物线交于AB两点,若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0)

⑴求X0的取值范围。

⑵△ABD能否是正三角形?若能求出X0的值,若不能,说明理由。

26、已知□ABCDA(-2,0),B(2,0),且∣AD∣=2

⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。

⑵过A作直线交以AB为焦点的椭圆于MN两点,且∣MN∣=MN的中点到Y轴的距离为,求椭圆的方程。

⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于PQ两点,求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。


27.(14分)(理)已知椭圆,直线l过点A(-a,0)和点B(ata

  (t>0)交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.(1)用at表示△AMN的面积S;

 (2)若t∈[1,2],a为定值,求S的最大值.


28.已知函数f(x)= 的图象过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.

  (1)求函数f(x)的解析式;

  (2)若数列{an}(n∈N*)满足:an>0,a1=1,an+1= [f()]2,求数列{an}的通项公式an,并证明你的结论.

30、已知点集其中点列中,轴的交点,等差数列的公差为1,

(1)求数列的通项公式;

(2)若

(3)若是否存在使得若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。

21.经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于两点. (12分)

(1)若线段的中点为,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程

(2)若直线的斜率,且点到直线的距离为,试确定的取值范围.

1(1)解:由题意,可设椭圆的方程为

 由已知得解得

所以椭圆的方程为,离心率

(2)解:由(1)可得A(3,0)。

设直线PQ的方程为。由方程组

,依题意,得

,则,  ①  。  ②

由直线PQ的方程得。于是

。  ③

,∴。  ④

由①②③④得,从而

所以直线PQ的方程为

(3,理工类考生做)证明:。由已知得方程组

注意,解得

,故

,所以

2 ①f(x)= (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1,4]上有4个实根

3 ①x2=4y  ②x1x2=-4  ⑶P(±2,1) SMIN=

4 .解:因a>1,不防设短轴一端点为B(0,1)

BCykx+1(k>0)

ABy=-x+1  

BC方程代入椭圆,

是(1+a2k2x2+2a2kx=0

BC,同理AB

ABBC,得k3a2k2ka2-1=0

k-1)[k2+(1-a2k+1]=0    

k=1或k2+(1-a2k+1=0

k2+(1-a2k+1=0时,Δ=(a2-1)2-4

Δ<0,得1<a

Δ=0,得a,此时,k=1

故,由Δ≤0,即1<a时有一解

Δ>0即a时有三解 

5  解:依题意,知ab≠0

abcabc=0

a>0且c<0 

(Ⅰ)令fx)=g(x),

ax2+2bxc=0.(*)

Δ=4(b2ac

a>0,c<0,∴ac<0,∴Δ>0

fx)、gx)相交于相异两点  

(Ⅱ)设x1x2为交点AB之横坐标

A1B12x1x22,由方程(*),知

A1B12

 

,而a>0,∴

,∴

 

∴4[(2+1]∈(3,12)

A1B1∈(,2)  

6、解:(1)=

依题意得k==3+2a=-3, ∴a=-3

,把B(1,b)代入得b=

∴a=-3,b=-1

(2)令=3x2-6x=0得x=0或x=2

∵f(0)=1,f(2)=23-3×22+1=-3

f(-1)=-3,f(4)=17

∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17

要使f(x)≤A-1987对于x∈[-1,4]恒成立,则f(x)的最大值17≤A-1987

∴A≥2004。

(1)    已知g(x)=-

∵0<x≤1,∴-3≤-3x2<0,

①   当t>3时,t-3x2>0,

∴g(x)在上为增函数,

g(x)的最大值g(1)=t-1=1,得t=2(不合题意,舍去)

②   当0≤t≤3时,

=0,得x=

列表如下:

x

(0,

0

g(x)

极大值

g(x)在x=处取最大值-+t=1

∴t==3

∴x=<1

③当t<0时,<0,∴g(x)在上为减函数,

∴g(x)在上为增函数,

∴存在一个a=,使g(x)在上有最大值1。

7、解:(1)设动点的坐标为P(x,y),则H(0,y),,=(-2-x,-y)

=(2-x,-y)

·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=

由题意得∣PH∣2=2··

,所求点P的轨迹为椭圆

(2)由已知求得N(2,0)关于直线x+y=1的对称点E(1,-1),则∣QE∣=∣QN∣

双曲线的C实轴长2a=(当且仅当Q、E、M共线时取“=”),此时,实轴长2a最大为

所以,双曲线C的实半轴长a=

∴双曲线C的方程式为

8.(1)

  (2)

9.解:(Ⅰ)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0

∵该直线与圆相切,

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.…………………………………………2分

故设双曲线C的方程为

又双曲线C的一个焦点为

∴双曲线C的方程为.………………………………………………4分

(Ⅱ)由

直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根.

因此  解得

又AB中点为

∴直线l的方程为.………………………………6分

令x=0,得

.………………………………………………8分

(Ⅲ)若Q在双曲线的右支上,则延长到T,使

若Q在双曲线的左支上,则在上取一点T,使

根据双曲线的定义,所以点T在以为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程是

   ①…………………………………………10分

由于点N是线段的中点,设

,即

代入①并整理得点N的轨迹方程为………………12分

10 解:(Ⅰ)因为.所以.……2分

,得,即.……………4分

(Ⅱ)

………………5分

两式相加

所以,………………7分

.故数列是等差数列.………………9分

(Ⅲ)

………………10分

………………12分

所以……………………………………………………………………14分

11.设直线OA的斜率为k,显然k存在且不等于0
OA的方程为ykx
由解得A()                               ……4分
又由,知OAOB,所以OB的方程为y=-x
由解得B(2pk2,-2pk)                           ……4分
从而OA的中点为A'(),OB的中点为B'(pk2,-pk)        ……6分
所以,以OAOB为直径的圆的方程分别为
x2y2-=0           ……①
x2y2-2pk2x+2pky=0         ……②             ……10分
P(xy)是异于O点的两圆交点,所以x≠0,y≠0
由①-②并化简得y=(k-)x       ……③
将③代入①,并化简得x(k2+-1)=2p  ……④
由③④消去k,有x2y2-2px=0
∴点P的轨迹为以(p,0)为圆心,p为半径的圆(除去原点).      ……13分

12.(1)由题意,有x2-2mx+2m2+>0对任意的xR恒成立
所以△=4m2-4(2m2+)<0
即-m2-<0
∴>0
由于分子恒大于0,只需m2-3>0即可
所以m<-或m
M={mm<-或m>}                             ……4分
(2)x2-2mx+2m2+=(xm)2m2+≥m2
当且仅当xm时等号成立.
所以,题设对数函数的真数的最小值为m2+             ……7分
又因为以3为底的对数函数为增函数
f(x)≥log3(m2+)
∴当且仅当xm(mM)时,f(x)有最小值为log3(m2+)     ……10分
又当mM时,m2-3>0
m2+=m2-3++3≥2+3=9
当且仅当m2-3=,即m=±时,
log3(m2+)有最小值log3(6+)=log39=2
∴当xm=±时,其函数有最小值2.

13.解析:(1)。,由根与系数的关系得,

      

       同法得f(

    (2).证明:f/(x)=而当x时,

        2x2-tx-2=2(x-故当x时, f/(x)≥0,

         *  函数f(x)在[上是增函数。

   (3)。证明:

      , 同理.

     

      又f(两式相加得:

      

     即

     而由(1),f( 且f(,

      .

14(I)时,,

,又{an}各项均为正数,.数列是等差数列,

(II) ,若对于任意的恒成立,则.令,.当时,.又. 的最大值是.

 

15.(1)设点M的坐标为(x,y),由=-,得P(0,-),Q(,0),         2分

·=0,得(3,-)(x,)=0,又得y2=4x,               5分

由点Qx轴的正半轴上,得x>0,

所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点. 6分

(2)设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,①      7分

Ax1,y1),B(x2,y2),

x1,x2是方程①的两个实根,∴x1+x2=-,x1x2=1,

所以,线段AB的中点坐标为(,),                               8分

线段AB的垂直平分线方程为y=-(x),               9分

y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)

因为△ABE为正三角形,所以点E+1,0)到直线AB的距离等于AB|,

而|AB|==·,            10分

所以,=,                                    11分

解得k,得x0=.                                         12分

16.(1)f1(0)=2,a1==,fn+1(0)=f1fn(0)]=,

an+1====-=-an,       4分

∴数列{an}是首项为,公比为-的等比数列,∴an=(-)n1.           6分

(2)T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n1+2na2n,

T2n=(-a1)+(-)2a2+(-)3a3+…+(-)(2n-1)a2n1+(-)·2na2n

=a2+2a3+…+(2n-1)a2nna2n,                                         8分

两式相减得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n,

所以,T2n=+n×(-)2n1=(-)2n+(-)2n1,   10分

T2n=(-)2n+(-)2n1=(1-).   ∴9T2n=1-,

Qn=1-,                                                12分

n=1时,22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2nQn;

n=2时,22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2nQn;                                 13分

n≥3时,22n=[(1+1)n2

=(C+C+C+…+C)2>(2n+1)2,∴9T2nQn.                        14分

17.解(I)+=(x,0)+(1,y)=(x+, y),

=(x, 0)(1,y)= (x,– y).*(+)(),      

 (+)·()=0, (x+)( x)+y·(y)=0,   

故P点的轨迹方程为.       (6分)

(II)考虑方程组  消去y,得(1–3k2)x2-6kmx-3m2-3=0     (*)

显然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.

设x1,x2为方程*的两根,则x1+x2=,x0=,  y0=kx0+m=,

故AB中点M的坐标为(),

线段AB的垂直平分线方程为y=(,

将D(0,–1)坐标代入,化简得 4m=3k21,

故m、k满足 消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4.

4m=3k21>1,   故m(,0)(4,+).  (12分)

18.(1)解 由已知得

.   (4分)

(2)证明  由(1)可 知 

   

两式相减得+…+

    .   (9分)

(3)解 由(1)可知

=  

故有 =6. (14分)

19.(1)

  (2)

  (3)

为递增数列 中最小项为

20.(1)  

  

  (2)设所求的双曲线方程为

 又由

当且仅当c=4时,最小,此时Q的坐标为

所求方程为

  (3)设 的方程为的方程为 则有

 ②  

 ③ 设由①②得

 

代入③得 的轨迹为

焦点在y轴上的椭圆.

21、解:(1)为偶函数    

为奇函数    

  

是以为首项,公比为的等比数列.

(2)

22、解析:(1)如图,以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴建立直角坐标系,A(-1,0),B(1,0)

  设椭圆方程为:

  令 ∴

  ∴ 椭圆C的方程是:

 

  (2)lAB时不符,

  设lykxmk≠0)

  由 

  MN存在

  设M),N),MN的中点F

  ∴ 

  

 ∴ ∴

  ∴ lAB的夹角的范围是

23、(1)

  

  

24、(1)当X<0时,                  (3分)

(2)函数= (X0)在是增函数;(证明略)          (9分)

(3)因为函数= (X0)在是增函数,由x

又因为,所以,所以

因为,所以,且,即

所以,-2≤f(x1) – f(x2) ≤2即<2.            (14分)

25、解:⑴由题意易得M(-1,0)

设过点M的直线方程为代入

………………………………………(1)

再设A(x,y),B(x,y

则x+x2=,x·x2=1

y+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(+x2)+2k=

∴AB的中点坐标为(

那么线段AB的垂直平分线方程为,令

,即

又方程(1)中△=

⑵若△ABD是正三角形,则需点DAB的距离等于

点到AB的距离d=

得:

,∴,满足

∴△ABD可以为正△,此时

26、解:⑴设E(xy),D(x0y0

ABCD是平行四边形,∴

∴(4,0)+(x0+2,y0)=2(x+2,y)∴(x0+6,y0)=(2x+4,2y)

即:

ABCD对角线交点E的轨迹方程为

⑵设过A的直线方程为

以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4,则C=2

设椭圆方程为 , 即…………………(*)

代入(*)得 

M(x1,y1),N(x2,y2)则

MN中点到Y轴的距离为,且MN过点A,而点AY轴的左侧,∴MN中点也在Y轴的左侧。

,∴

  ∴

   即

  ∴

  ,  

 ,∵ ,∴ 

∴所求椭圆方程为

⑶由⑴可知点E的轨迹是圆

是圆上的任一点,则过点的切线方程是

①当时,代入椭圆方程得:

 ,又

=

, ∵

∴当t=15时, 取最大值为15 ,的最大值为

此时  ,∴直线l的方程为

②当时,容易求得

故:所求的最大值为,此时l的方程为

27.解(理)(1)易得l的方程为…1分 由,得(a2t2+4)y2-4aty=0…2分

解得y=0或 即点M的纵坐标………………4分

S=SAMN=2SAOM=OA·yM=…7分 (2)由(1)得, 

…………9分  由

时,…10分 若1≤a≤2,则,故当时,Smax=a11分

a>2,则在[1,2]上递增,进而S(t)为减函数. ∴当t=1时,13分

综上可得…………14分

28. (1) ∵函数f(x)= 的图象过原点,即f(0)=0,∴c =0,∴f(x)= .

又函数f(x)= = b - 的图象关于点(-1,1)成中心对称,∴a=1,b=1,∴f(x)= .(2)由题意有an+1=[ ]2,即 = ,即 = +1,∴ - =1.

∴数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列. ∴ =1+(n-1)=n,即 = ,∴an= .∴a2= a3= a4= an= .

29、解:(1)由,得    …………2分

,则

    …………4分

(2)当时,,

    …………6分

  …………8分

(3)假设存在符合条件的使命题成立

是偶数时,是奇数,则

                …………11分

是奇数时,是偶数,则

无解

综上存在,使得    …………14分

30.解:(1)设,直线AB的方程为:

代入得:

∴点M的坐标为

消去可得点M的轨迹方程为:

(2)∵

的取值范围为