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综合题解法集锦

要点：所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题.

如下,我们从八个方面举例,对综合题的解题策略作一探讨.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘.

二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁.

三、回到定义和图形中来.

四、以简单的、特殊的情况为突破口.

五、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考.

六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来.

七、培养整体意识，把握整体结构。

八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论.

【例题示范】

1、成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数．

　　解：设四个数为

　　　　则：

　　　　由①：　代入②得：

　　　　 ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．

2、在等差数列中，若求．

　解：∵　∴ 　而

3、已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和．

　解：由题设　　

　　　∴　而

　　从而：　　

4、已知，求及．

　　解：　从而有

　∵　 ∴　　　

∴　　∴

5、已知求的关系式及通项公式

　　解：

　　　 ②-①：　即：

　　　　将上式两边同乘以得：

　　　　　　　　　　　　　即：

　　　显然：是以1为首项，1为公差的AP

　　　　∴

　6、已知，求及．

解：∵　　∴ 　∴

　　设则是公差为1的等差数列　 ∴

　　又：∵　　 ∴　∴

　　当时

　　 ∴ 　　

　7、设求证：

　　证：∵ 　　

　　　　 ∴

8、已知函数的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（）和（）.

（I）求的解析式；

（II）用列表作图的方法画出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.

解：（Ⅰ）由已知，易得A=2．

　　　　　　　，解得．

　　　　　　　把（0，1）代入解析式，得

　　　　　　　．又，解得．

∴为所求．…………………………………………6分

(Ⅱ)


0
0	2	0	0

9、已知函数.

（I）指出在定义域R上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无须证明）；

（II）若a、b、c∈R，且，试证明：.

解：（Ⅰ）是定义域上的奇函数且为增函数．

（Ⅱ）由得．由增函数，得

由奇函数，得 ∴

同理可得　

将上三式相加后，得．

10、已知：如图，长方体ABCD—中，AB=BC=4，，E为的中点，为下底面正方形的中心.求：（I）二面角C—AB—的正切值；

（II）异面直线AB与所成角的正切值；

（III）三棱锥——ABE的体积.

解：（Ⅰ）取上底面的中心，作于，连和．

由长方体的性质，得平面，由三垂线定理，

得，则为二面角的平面角

．

在中，

（Ⅱ）取的中点G，连和．

易证明，则为所求

文本框: ．．

在中，

（Ⅲ）连，，由易证明平面．

　　∴

11、已知等差数列{}的公差为d，等比数列{}的公比为q，且，（），若，求a的取值.

解：由得，

由已知，得

∵，∴ 由对数定义得

当，时，得，．

当，时，得．这与已知相矛盾．

当，时，得．

综上：当时，

当，时，的取值集合为空集

当，时，

12、已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：

图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周

图②的过水断面为等腰梯形∥，过水湿周.若与梯形ABCD的面积都为S，

（I）分别求的最小值；

（II）为使流量最大，给出最佳设计方案.

解（Ⅰ）在图①中，设，．

则．由于、、皆为正值，可解得．

当且仅当，即时取等号．

所以．

在图②中，设，．可求得

，

解得．

．

当且仅当，即时取等号．

（Ⅱ）由于，则的最小值小于的最小值．

所以在方案②中当取得最小值时的设计为最佳方案．

13、已知：如图，射线OA为y=2x(x>0)，射线OB为y= –2x(x>0)，动点P（x, y）在的内部，于N，四边形ONPM的面积为2..

（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；

（II）确定y=f(x)的定义域.

解：（Ⅰ）设，　．

则，

由动点在的内部，得．

∴，

∴

∴　　　　①

又，

分别解得，

代入①式消去、，并化简得．

∵，∴．

（Ⅱ）由在内部，得．

又垂足必须在射线上，否则、、、四点不能构成四边形，所以还必须满足条件

∴

所以的定义域为

14、解关于x的不等式：log_a(x²－x－2)＞log_a(x－)＋1(a＞0，a≠1)

解：原不等式等价于……①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1°当时，①式可化为

　　　　　　　　从而即

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2°当时，①式可化为

　　　　　　　从而　即　　 ∴Φ　　　　

综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，不等式的解集为Φ

15、在三角形ABC中，三内角满足A＋C＝2B，，求cos的值

解：∵A+C=2B，∴A+C=120°，B=60°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵，∴　　　　　　　　

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

令，则上式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

∵，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

16、已知复数z₁＝2－x＋xi，z₂＝y—1＋(－y)i，x、y属于R，若z₁＝z₂且argz₁/z₂=90º，求的值

解：∵　　∴

∴

　　　解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴，

∴

17、如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.
（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；
（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.

解：（I）连，则平面于　　　　　　　　　　　　　

∴就是侧棱与底面所成的角　　　　

在中，

∴是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴，即侧棱与底面所成角为45°，

　（II）在等腰中，，∴，且O为AC中点，

过O作于E，连。∵平面ABCD于O，

由三垂线定理，知，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴∠是侧面与底面ABCD所成二面角的平面角。

∵∠ABC=，，∴底面ABCD是正方形。

∴。　在中，。

即所求二面角的正切值为。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，。

∴。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵，∴。

∵，∴平面，它们的交线是。

过O作，则。

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵的中点，∴点C到平面的距离。

∴。　　　　　　　　

另解：。

18、在工厂生产中，若机器更新过早，则生产潜力未能充分发挥而造成浪费；若更新过迟，老机器生产效率低，维修与损耗费用大，也会造成浪费.因此，需要确定机器使用的最佳年限（即机器使用多少年平均费用最小）
　　某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费2千元，每年投保、动力消耗固定的费用为2千元；每年的保养、维修、更换易损件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，……，即每年增加1千元，问这台机器的最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值.

解：设使用年为最佳年限，则每年的平均费用　　　

　　（万元）。　　　　　　　　　

当且仅当，即，即时取等号。

答：这台机器最佳使用年限为12年，且年平均费用的最小值为1.55万元。

19、已知数列{a_n}满足a₁＝2，对于任意的n∈N，都有a_n＞0，

且(n＋1)a＋a_na_n_＋1－na＝0，又知数列{b_n}:b₁＝2ⁿ^－1＋1
(1)求数列{a_n}的通项a_n以及它的前n项和S_n；
(2)求数列{b_n}的前n项和T_n；
(3)猜想S_n和T_n的大小关系，并说明理由.

解：（Ⅰ）∵

∴。

∴

∴，∴。　　　　　　　　　　　　　　　即。

∴。

∴，∴又，∴。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ 。　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）∵，

∴

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅲ）

当时，，∴；

当时，，∴。　　　　　　　　　　　　　

猜想：当时，。　　　　　　即。亦即。

下面用数学归纳法证明：

当时，前面已验证成立；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

假设时，成立，那么当时，

。

∴当时，也成立。　　　　　　　　　

由以上、可知，当时，有；当时，；

当时，。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20、将两副三角板放成如图所示的形状，使二面角D－AC－B成直二面角。

已知：BC=CD，∠ACD=∠ABC=90⁰.求：二面角C－AB－D的大小。

证：如图∵平面ACD^平面ABC，CD^AC，

∴CD^平面ABC.

∵斜线BD在平面ABD上的射影为BC，AB^BC，

∴AB^BD.即∠DBC为二面角

C－AB－D的平面角。

∵BC=CD，CD^BC，∴∠DBC=45⁰翰林汇

21、正方形ABCD和正方形ABEF折成一个二面角,M、N分别是对角线AC和BF上的点,且AM=FN(如图),求证：MN//平面BEC.

证明：如图，分别过M、N作

MP∥DC交BC于P，NQ ∥EF交

EB于Q，连接PQ ∵EF∥AB∥CD，∴MP∥NQ

又∵AM＝FN，∴在正方形ABEF

和正方形ABCD中，MP=NQ　　

∴ 四边形 MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ，∵

∴MN∥平面EBC　　　　

22、矩形ABCD(AB≤BC)中,AC=2,沿对角线AC把它折成直二面角B－AC－D后,BD=,求AB、BC的长.

翰林汇

翰林汇解：如图，

分别过B、D作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，

设∠BAC＝θ，则AB＝ACcosθ＝2cosθ，

BE＝DE＝ABsinθ＝sin2θ,

AE＝ABcosθ＝2cos²θ∴EF＝AC－2AE

＝2＝－2cos2θ

折叠后，在平面ACD内过E作EG∥FD,且EG=FD,连接DG、BG、BD，则∠BEG为二面角B－AC－D的平面角，∴∠BEG＝90°

于是BG＝BE＝sin2θ＝2sin2θ

∴BG²＋DG²＝BD²，即：（2sin2θ）²＋（－2cos2θ）²＝5

∴4（cos2θ）²＝1,∴cos2θ＝±，

∵AB≤BC，∴cos2θ＝－∴cosθ＝，故AB＝，BC＝

23、在三棱锥A－BCD中,E、F分别是线段AD、BC上的点,满足,AB=CD=3,且AB与CD所成的角为60^o,求EF的长.

解：如图，过E 分别作EG∥AB

交BD于G，EH∥DC交AC于H，

连接GH、FH，由条件，易知

EGFH为平行四边形。

∴∠GEH为异面直线AB与CD

所成的角或其补角。∴∠GEH＝60°或120°

又EG＝AB＝2，EH＝AB＝1,

由余弦定理得：EF＝＝或

翰林汇24、如图,△ABC和△DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120^o,求

(1)　 AD与平面BCD的成角;

(2)　 AD与BC的成角;

(3)　二面角A-BD-C的正切值.

解：（1）如图，过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE，

∵平面ABC⊥平面DBC∴AE⊥平面DBC，

∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。

∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB

∴∠ABE＝∠DBE，∴△DBE≌△ABE

∴DE⊥CB且DE＝AE

∴∠ADB＝45°∴AD与平面CBD

所成的角为45°

（2）由（1）知CB⊥平面ADE

∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°.

（3）过E作EM⊥BD于M

由（2）及三垂线定理知，AM⊥BD，

∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角.

∵AE＝BE＝2ME，∴tg∠AME＝2，故二面角A-BD-C的正切值为－2.

25、如图：已知平面四边形ABCD,AC、BD相交于O,AB=AD,CB=CD,

∠ABC=120°,且PA⊥平面ABCD.

(1)若AB=PA=,求P到直线BC的距离;

(2)求证平面PBD⊥平面PAC.

证明(1)延长CB,过A在平面内作AE⊥CB,垂足为E.

∵∠ABC=120°,∴∠ABE=60°,在Rt△ABE中：AE=AB·sin60°=·=

∵PA⊥平面,AE⊥EB,∴AE是PE在平面内的射影,

∴PE⊥EB,∴PE为点P到BC的距离.在Rt△PAE中：

PE=.

(2)在四边形ABCD中,取BD中点O,连AO、CO,

∵AB=AD,CD=CB,BO=OD,

∴AO⊥BD,CO⊥BD,　∴A、O、C共线,∴AC⊥BD.

又PA⊥,∴PA⊥BD,

∴BD⊥平面PAC,∵BD平面PBD,　∴平面PBD⊥平面PAC.

26、如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为8cm，M、N、P分别是AB、A₁D₁、BB₁的中点；（1）画出过M、N、P三点的平面与平面A₁B₁C₁D₁的交线以及与平面BB₁C₁C的交线；（2）设过M、N、P三点的平面与B₁C₁交于点Q，求PQ的长；

解：（1）设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA₁B₁B的交线为直线MP，设，则RN是α与平面A₁B₁C₁D₁的交线，设，则直线PQ就是所要画的平面α与平面BB₁C₁C的交线；

（2）正方体的棱长为8cm，B₁R=BM=4cm，，

故B₁Q=4=（cm），在Rt△PB₁Q中，B₁P=4cm，B₁Q=cm，

（cm）

27、如图，四棱锥V-ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，

又∠BCV=∠BAV=90°，求证：VD⊥AC；

证明：∠BCD=∠BAD=90°BC⊥CD，BA⊥AD

∠BCV=∠BAV=90°BC⊥CV，BA⊥AV，

∴BC⊥平面VCD，BA⊥平面VAD 　∴BC⊥VD，BA⊥VD

∴VD⊥平面ABC，∴VD⊥AC

28、过点S引三条长度相等不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，

∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。

证明：作AO⊥平面SBC，O为垂足，

∵SA=SB，∠ASB=60°，∴AB=AS，同理AS=AC，∴AB=AS=AC，∴O为△BSC的外心，又∠BSC=90°，故O为BC中点，即AO在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BSC。

29、三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分别为S₁、S₂、S₃，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S₁、S₂、S₃表示）；（2）求证：cos²α+cos²β+cos²γ=1；

解：设PA=a，PB=b，PC=c，则S₁=ab ，S₂=bc，S₃=ca，
作PD⊥BC于D，连AD，易证BC⊥平面PAD，

于是BC⊥AD；S_△ABC=BC×AD，在Rt△APD中，AD²=a²+PD²，
在Rt△BPC中，PD²=，
∴AD²=a²+
∴S_△ABC²=（BC×AD）²=（a²b²+b²c²+c²a²）=
∴

证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，
PD²=，AD²=
∴cos²α=；同理cos²β=；
cos²γ= ；∴cos²α+cos²β+cos²γ=1

30、如图，四棱锥P-ABCD的侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∠DAB=∠CBA=90°，又AD=AB=BC，∠APB=arcsin，试求侧面APB与侧面CPD所成的角。

解：设AD=AB=BC=3a，由Rt△PAB≌Rt△PAD，∠APB=arcsin，得PD=PB=5a，PA=4a，延长CD、BA交于E，连PE，作BF⊥PE于F，连CF，可证BC⊥平面PBE，则CF⊥PE（三垂线定理），从而∠BFC是二面角B-PE-C的平面角，设其为θ；显然AD是△EBC的中位线，∴EA=AB=3a，即EB=6a，可得PE=PB=5a
在△PBE中，用面积关系得：PE×BF=BE×PA

∴BF=
由Rt△BCF，，∴；

本题还可以用射影面积法。

31、多面体表面积为S，外切于表面积为36π（平方单位）的球，求这个多面体的体积；

分析：可仿照平面几何类似问题，连结三角形的内切圆圆心和各个顶点的线段，将三角形面积分为三个部分，且有S=r（a+b+c）；

解：球的半径R=3，连结球心和多面体各个顶点，得到的锥体体积之和就是多面体的体积，这些锥体的高都是半径R，故V==S（立方单位）。

32、给定一个圆锥和两个平面α、β，其中α∥β，且它们与圆锥底面平行，若平面α把圆锥侧面分成面积相等的两部分，平面β把圆锥分成体积相等的两部分，求夹在α、β间的几何体的体积与圆锥体积之比。

分析：本题涉及到截锥性质：截面积与底面积的比为对应元素的平方比，截得的圆锥的体积与原圆锥的体积之比是对应元素的立方比。

解：设给定圆锥的底面半径为R，高为H，则V_圆锥=πR²H；

设平面α、β与圆锥侧面相交所得两圆半径分别为r₁和r₂，

由截锥性质得：

显然r₂>r₁，即平面β比平面α离圆锥底面近些，又设截得的两圆锥的高分别是h₁和h₂，则夹在α、β间的圆台的高h，有：

h= h₂-h₁=；

V_圆台=π××（）

=×πR²H

∴V_圆台：V_圆锥=

33、在一个每边长均为１的正三棱锥内部有１３个点，其中任三点不共线，任四点不共面，试证：其中至少有一个以这些点中的四个点为顶点的三棱锥，其体积V

证明：设棱长均为1的正三棱锥为A-BCD，AO是它的高，今在AO上取一点O₁，使O₁A=O₁B=O₁C=O₁D，可求得OB=，AO=，

进而求得O₁A=O₁B=O₁C=O₁D=；

以O₁为点，以A-BCD得四个面为底面的四个三棱锥显然等积，且V'=；

在三棱锥内部的13个点，因为其中任三点不共线，任四点不共面，由抽屉原理，至少有四点落在以O₁为顶点的四个小三棱锥的同一个三棱锥内，那幺这四点为顶点的三棱锥的体积V。

34、进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，问售价应为多少时所获得利润最大？

解：设售价为元时利润为，此时售量为

当时，（元）。

答：售价为95元时获利最大，其最大值为4500元。

35、20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花、水稻。这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表。应怎样计划才能使每亩地都能种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值达最高？

作物	劳力/亩	产值/亩
蔬菜	1/2	0.6万元
棉花	1/3	0.5万元
水稻	1/4	0.3万元

解：设种亩水稻（0<x≤50），亩棉花（0<x≤50）时，总产值为且每个劳力都有工作。

且、满足

即

欲使为最大，则应为最小，故当（亩）时，万元，此时（亩）。

故安排1人种4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时农作物总产值最高且每个劳力都有工作。

36、某企业在今年年初向银行贷款万元，年利率为；从今年年末开始，每年末向银行偿还一定的金额，预计五年内还清，问每年末平均偿还的金额应是多少？

解：设平均每年末应向银行偿还万元，则每年尚欠银行款依次为：

……

第五年欠款应等于零，即：

…

∴　　故平均每年末向银行偿还金额万元。

37、某市1994年底人口为20万，人均住房面积为8，计划1998年底人均住房面积达10。如果该市每年人口平均增长率控制在1%，要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新增住房面积多少万（结果以万为单位，保留两位小数）。

解：设平均每年至少要新增住房面积万。四年共新增住房面积4万。此时住房总面积应为万。另一方面，到1998年底总人口为20（1+1%）⁴万。按人均10计，1998年底应有住房面积为20×10×（1+1%）⁴万。据题意有：

因故即

故该城市每年至少要新增住房面积12、03万，才可达人均住房面积10的目标。

38、铁道机车运行1小时所需的成本由两部分组成，固定部分为元，变动部分与运行速度V（千米/小时）的平方成正比。比例系数为k（k≠0）。如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省应以怎样的速度运行？

解：设以速度V匀速运行成本最省，甲、乙两站相距S千米，则机车匀速从甲站到乙站所需时间为总成本为元。

仅当时，有最小值，

故机车以速度千米/小时匀速运行时，成本最省。

39、某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式（其中为鱼苗成本，）。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤）。

解：设第年鱼的产值为最高。p为鱼苗总重量，则

，

……，

当

即第4年鱼的产值最高；另一方面，

当或4时，

下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用的大小。

若G≠0则取；

若则取

∴取，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。

40、过椭圆的左焦点F₁的弦AB，过A，B分别向左准线引垂线，垂足分别为M，N，当线段MN最大时，求直线AB的方程。
解：由已知方程得F₁（－4，0），设直线AB方程：y = tg(x＋4),代入椭圆方程=,当sin时，MN最大，

此时　　　 ∴直线方程为：.

41、已知椭圆C：(a＞b＞0)的长轴两端点为A、B，
（1）过焦点F作垂直于长轴的弦PP′，当tg∠APB=时，求C的离心率；
（2）如果C上存在一点Q，且∠AQB=120⁰，求C的离心率的范围。
解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c，则纵坐标为.
k_PA=，k_PB=.
∴tg∠APB=，∴，∴e=.
(2)设θ(x，y)，由对称性，不妨设θ在x轴上方，即y＞0.
k_AQ=，k_BQ=，∴=tg∠AQB=.
∴=(x²＋y²－a²)＋2ay=0.
此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或.由y=0，得Q与A或B重合，舍去.当时，由Q在椭圆上半部.
∴≤b，∴，∴e∈.