常州第四中学2005年高考数学模拟试卷

命题人：常州市第四中学 颜瑞生

一．选择题：（5*12）

1.设集合，则（　　）

　　

2.已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=　　（　　）

　　　 (A) –4　　 　　　　　　　 (B) –6　　　　　　　　(C) –8　 　　　　　　　　  (D) –10　

3.在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N四点中，函数的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．P．　　　　　　　　　　　　B．Q.　　　　　　　　　　 C．M.　　　　　　　　　　　 D．N.

4.已知　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　（A）　　　　（B）　　　 （C）　　　 （D）

5.若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则　　　　　　　 （　　）

　　　A．a=2,b=2　　　　　 B．a=,b=2　　　 C．a=2,b=1　　　　　 D．a=,b=

6.把函数y＝cos2x＋3的图像沿向量平移后，得到函数y＝sin(2x＋)的图像，则向量的坐标是

A(－,－3)　　　　　　　　 B(,3)　　　　　　　　　　　　C(－,3)　　　　　　　　　 D(,－3)

7..球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于球的大圆周长的六分之一，经过这三点的小圆的周长为4π，则这个球的表面积为

A12π　　　　　　　　　　　　　B24π　　　　　　　　　　　　　C48π　　　　　　　　　　　　　D64π

8.计算机将信息转换成二进制进行处理，二进制即“逢二进一”，如(1101)₂就表示一个二进制数，将它转换成十进制形式是1×2³＋1×2²＋0×2¹＋1×2⁰＝13，那么将二进制数转换成十进制形式是

A2¹⁷－2　　　　　　　　　　　 B2¹⁸－2　　　　　　　　　　　　C2¹⁸－1　　　　　　　　　　　 D2¹⁷－1

9.过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)²＋y²＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是

A　x＝1　　　　　　　 B　y＝1　　　　 C　x－y＋1＝0　　　　　　D　　x－2y＋3＝0

.10.设函数，那么函数f(x＋1)的图像关于直线y＝x对称图像的函数的解析式是

A　　　B　　 C　　　　　D　

11.已知A箱内有红球1个和白球(n＋1)个，B箱内有白球(n－1)个(n∈N，且n≥2)，现随意从A箱中取出3个球放入B箱，将B箱中的球充分搅匀后，再从中随意取出3个球放入A箱，则红球由A箱移到B箱，再返回到A箱的概率等于

A　　　　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D

12.对于二项式(＋x³)ⁿ(n∈N^＋)，四位同学作出了四种判断：

①存在n∈N^＋，展开式中有常数项；

②对任意n∈N^＋，展开式中没有常数项；

③对任意n∈N^＋，展开式中没有x的一次项；

④存在n∈N^＋，展开式中有x的一次项。

上述判断中正确的是

A①与③　　　　　　 B②与③　　　　　　 C②与④　　　　　　 D④与①

二.填空题（4*4）

13.如图，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA₁和截面B₁D₁DB的距离是　　．

14．由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　　  ．

15．在△ABC中，边AB为最长边，且sinA·sinB=，则cosA·cosB的最大值是　　　　　  。

16．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n²，则算过关，那么，连过前二关的概率是。_______。

三、解答题：

17．(本题满分12分)已知，α是锐角，且tan

　　  （2）的值

18．(本题满分12分)已知向量

（I）求向量

（II）若映射

　　①求映射f下（1，2）原象；

　　②若将（x、y）作点的坐标，问是否存在直线l使得直线l上任一点在映射f的作用下，仍在直线上，若存在求出l的方程，若不存在说明理由

19．(本题满分12分)如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点，（1）求证：MN⊥平面PCD

（2）若AB=

　　　

20．(本题满分12分)求

21. (本题满分12分)（1）设

M(互相垂直的弦MP、MQ，求证：PQ恒过定点M'（

　　（2）直线点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形？

22．(本题满分14分)数列

（1）若数列

（2）求数列的通项公式

（3）数列适合条件的项；若不存在，请说明理由

参考答案

选择题BBDCADDCDBCD

13.a

14.，15. 16.

17．解：（1）

　　由=2，有=2

解得

  （2）原式=

　　

　　

18．解：（I）设

　　（II）①

　　

②假设l存在，设其方程为

　　点

　　

即（1+k）

　　

　　

19．（1）证明：取PD中点E，∵E，N分别是PD，PC中点，

∴　

　　∥MN

　　∵PA=AD　　∴AE⊥PD

　　又∵PA⊥平面ABCD　 ∴PA⊥CD，CD⊥AD　　　　　　　　　

　　　 PA∩AD=A　 ∴CD⊥平面PAD

　　　AE平面PAD　 ∴AE⊥CD，CD∩PD=D

　　∴AE⊥平面PCD　 ∴MN⊥平面PCD　　　　　　　　　　　　 

（2）解：连AC交BD于O，则O是AC中点，连ON则ON⊥ABCD　

作OF⊥MD，连NF，则NF⊥MD

　　∴∠NFO是二面角N—DM——C的平面角，

　　NO=　　　　　　　　　　　　　　　　

　　∠NFO=

　　二面角N—MD——C为60°　　　　　　　　　　　　　　　　

20．解：

　　　　　　　　　

又

 

  )　　　　　 

 

 

=

　　　　　 

所以，最大值只可能是

再比较

最大值是

最小值只能是

故当

在[0，3]的最小值是

当时，

　　　　　　　

21．（1）证明：设PQ的方程为

得

其中

　　　　　　　　　　　　　　 

即　　∴

直线PQ的方程为

即　　　　 

（2）设M（上，所以的解，消去x得

　。　　

22．解：（1）由

∴　　　　　　　　　　　　

（2）

　　　　　　　　　　　 

（3）设存在S，P，r

　　　　　　　　　　 　　　　　　 

即　

　　　　　　

为偶数

1+2