承德市2006年高考模拟试题（二）

理科数学

命题人：廖洪学　　　　审题人：贾增辉

本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页．满分150分, 考试用时120分钟, 考试结束后，将第Ⅱ卷交回．

第I卷

注意事项：

1．考生务必将自己的姓名、准考证号填写在第Ⅱ卷上．

2．每小题选出答案后，将所选答案填在第二卷的答题卡处，不能答在第I卷上．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　  球的表面积公式　　　

P (A + B ) = P ( A ) + P ( B )　　　　  　　　　　 

如果事件A、B相互独立，那么　　　　　　　　　  其中R表示球的半径

P ( A · B ) = P ( A ) · P ( B )　　　　　　　　　

如果事件A在一次试验中发生的概率是　　　　　  球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k　　　　　　 

次的概率 　　　　　　　　　 其中R表示球的半径

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U=R，集合　　 （　　）

　　A．{xx<2}　　　　B．{xx≤2}　　　 C．{x－1<x≤2}　 D．{x－1≤x<2}

2．满足的复数z是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　A．2+i　　　　　　B．－2+3i　　　　 C．2+2i　　　　　 D．2－i

3．已知等比数列{a_n}的前n项和是S_n,S₅=2，S₁₀=6，则a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀=　　　　 （　　）

　　A．8　　　　　　　B．12　　　　　　 C．16　　　　　　 D．24

4．已知 ，C为线段AB上距A较近的于个三等分点，D为线段CB上距C

　 较近的一个三等分点，则用、表示的表达式为　　　　　　　　　　 （　　）

　　A．　　B．　 C．　　 D．

5．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x－1，那么不等式f(x)<的解集是　　　　　　　（　　）

　　A{x0<x<} B{x－<x<0}  C{x－<x<0或0<x<} D{xx<－或0≤x<}

6．设函数f(x)是偶函数，且对于任意正实数x满足f(2+x)=－2f(2－x),已知f(－1)=4,那么f(－3)的值是　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　A．2　　　　　　　B．－2　　　　　　C．8　　　　　　　D．－8

7．在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D₁P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　D．

8．已知则实数a的取值范围

　 是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　A．（－∞，－2）∪（1，+∞）　　　　 B．（－2，1）

　　C．　　　　　　　　　　　　　D．

9．设实数满足条件的最大值为　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．23　　　　　　　　　　　B．25　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．5

10．已知函数表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①的解析式为；②的极值点有且仅有一个；③的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（　　）

　　　 A．0个　　　　　　　　　　B．1个　　　　　　　　　　C．2个　　　　　　　　　　D．3个

11．若对于任意的，函数，则称在[a，b]上

　　可以替代.若，则下列函数中可以在[4，16]替代是（　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

12．ABCD—A₁B₁C₁D₁是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA₁→A₁D₁→……，黑蚂蚁爬行的路是AB→BB₁→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）.设白、黑蚂蚁都走完2006段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．0

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案填在题中的横线上）

13．设则

=　　　　　  

14．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点.若PF₁=3，则点P到双曲线右准线的距离是　　　　　  .

15．6个不同大小的数按如图形式随机排列，设　　　　　  ★　　 ……第一行

　  第一行这个数为M₁，M₂、M₃分别表示第二、　　　　  ★　★　 ……第二行

　  三行中的最大数，则满足M₁<M₂<M₃的所有　 　　　 ★　★　★ ……第三行

　  排列的个数是　　　  .

16．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元，若某用户每月手机费预算为120元，则它购买

　　　　　　　　　卡才合算.

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题答题卡：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	得分
选项

二、填空题答题卡：

⒔　　　　　　  。⒕　　　　　　  。⒖　　　　　　  。⒗　　　　　　  。填空题答题卡：

13．　　　　　　　　　　　　　　  　　14.　　　　　　　　　　　　　　 

15.　　　　　　　　　　　　　  　 　　16.　　　　　　　　　　　　　　   

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得分	评卷人

（17）（本大题满分12分）

设是平面上的两个向量，且互相垂直

　 （1）求λ的值；

　 （2）若的值.

得分	评卷人

（18）（本大题满分12分）

函数f（x）=1-2a cosx-2sin²x的最小值为g（a）（a∈R）

（1）求g（a）的表达式；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值

得分	评卷人

（19）（本大题满分12分）

如图是一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。若甲向东、向西行走的概率均为，向南、向北行走的概率分别为和p，乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q

（1）求p和q的值；

（2）设至少经过t分钟，甲、乙两人能首次相遇，

试确定t的值，并求t分钟时，甲、乙两人

相遇的概率.

得分	评卷人

（20）（本大题满分12分）

如图，△ABC中，AC=BC，AE和CD都垂直平面ABC，且AE=AB=2，F为BE的中点，DF//平面ABC.

　 （1）求CD的长；

　 （2）求证：AF⊥BD；

　 （3）求平面ADF与平面ABC

所成的较小的二面角的大小.

得分	评卷人

（21）（本大题满分12分）

已知函数的反函数.

　 （1）已知数列求数列的通项公式；

　 （2）已知数列求证：对一切n≥2的正整数

得分	评卷人

（22）（本大题满分14分）

已知椭圆两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足

=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，

　 （1）求P点坐标；

　 （2）求证直线AB的斜率为定值；

　 （3）求△PAB面积的最大值.

承德市2006年高考模拟试卷（一）　　 理科数学　　

参考答案及评分标准

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	B	A	C	A	D	D	D	C	A	C	C	B

二、填空题

13．1　　14．　　15．240　　16．神州行

三、解答题：

17．解：（1）

　 （2）当垂直时，

　　　　

，则

…………（2分）

…………（12分）

18．解：（1）f（x）=1-2a cosx-2sin²x=2 cos²x-2a cosx -2a-1

设h（t）=2t²-2a t -2a-1=2（t-）² --2a-1，t= cosx ∈。

①当<-1时，即a<-2时，g（a）=h（t）_min= h（-1）=1。

…………（6分）

②当-1≤≤1时，即-2≤a≤2时，g（a）=h（t）_min= h（）=--2a-1。

③当>1时，即a>2时，g（a）=h（t）_min= h（1）=1-4 a。

（2）当a<-2时，g（a）=1≠；

当a>2时，g（a）=h（t）_min= h（1）=1-4 a=，得a=；

…………（10分）

当-2≤a≤2时，g（a）=--2a-1=，则a= -3（舍）或a= -1。

…………（12分）

∴当a= -1时，f（x）=2 cos²x+2 cosx +1=2（t-）² +。

当cosx= 1时，f（x）有最大值为5。

19．解：（1）……（2分）

　 （2）t=2甲、乙两人可以相遇（如图，在C、D、E三处相遇）……（4分）

设在C、D、E三处相遇的概率分别为P_C、P_D、P_E，则：

P_C=……………………（6分）

P_D=……………………（8分）

P_E=……………………（10分）

P_C+P_D+P_E=

即所求的概率为………………（12分）

20．方法一：（1）取AB中点G，连FG、CG，则FG//AE，又AE和CD都垂直平面ABC，

所以AE//CD，所以FG//CD，所以F、G、C、D四点共面.又平面

FGCD∩平面ABC=CG，DF//平面ABC，所以DF//CG，所以四边形FGCD是平行四边形，所以CD=FG=AE=1.………………（4分）

　 （2）直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中点，

所以AF⊥BE，又△ABC中，AC=BC，G是AB中

点，所以CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，所以

AE⊥CG，又AE∩AB=A，所以CG⊥面ABE.因为

DF//CG，所以DF⊥面ABE，AF⊥BE，由三垂线定

理得AF⊥BD.　　　　　　　　　　　   ……（8分）

　 （3）设面ADF∩面ABC=L，因为DF//平面ABC，所以DF//L，又DF⊥面ABE，所以L⊥面ABE，所以L⊥AF，L⊥AB，所以∠EAB即为二面角的平面角.直角三角形ABE中，易得∠FAB=45°，所以平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°…………（12分

方法二：取AB的中点G，∵AB=BC，∴CG⊥AB

又∵AE⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC以G

为原点，GB、GC、GF所在的直线为x, y, z建

立空间直角坐标系，则A（－1，0，0）B（1，0，0），

E（－1，0，2）F（0，0，1），设C（0，t，0）

∵DF//平面ABC，则D（0，t，1）

∴即CD的长为1…………………………（4分）

　 （2）=（1，0，1），=（－1，t，1）∵·=－1+1=0，∴AF⊥BD（8分）

　 （3）∵=（1，0，1），=（0，t，0），设=(x, y, z)是平面ADF的一个法向量，

　　　　∴

　　　　GF⊥平面ABC，则=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，设平面ADF与平面ABC所成的二面角（锐角）为θ，则

　　　　所以θ=45°

即：平面ADF与平面ABC所成的较小的二面角为45°……………………（12分）

21．（1）解：）

∴数列是以1为首项，公差为1的差数列，a_n=………………（4分）

　 （2）证明：

则………………（6分）

22．解：（1）由题可得F₁(0, ), F₂(0, －), 设P(x₀, y₀)(x₀>0, y₀­>0)

则

在曲线上，则

则点P的坐标为（1，）………………………………（2分）

　 （2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k>0)

则BP的直线方程为：y－=k(x－1)

所以：AB的斜率为定值…………………………（8分）

　 （4）设AB的直线方程：

当且仅当m=±2∈（－2，2）取等号

∴三角形PAB面积的最大值为………………………………（14分）