2004-2005届高考数学仿真试题（二）（广东）

命题：廖美东　　　　　　　　  考试时间：2005-4-5

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　　　  正棱锥、圆锥的侧面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）　　　　　　　　　　　 

如果事件A、B相互独立，那么　　　　　　　　　　　  其中c表示底面周长，l表示斜

P（AB）=P（A）P（B）　　　　　　　　　　　  高或母线长

如果事件A在一次试验中发生的概率是　　　　　　　　 球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率　　　　

　　　　　　　　　　　　　　  其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知映射f:A→B，其中集合A={－9，－3，－1，1，3，9}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对于任意x∈A，在B中和它对应的元素是log₃x,则集合B为

A.{1，2，3}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.{0，1，2}

C.{－2，－1，0，1，2}　　　　　　　　　　　D.{1，2}

2.若α是第三象限角，且cos<0，则是

A.第一象限角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.第二象限角

C.第三象限角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.第四象限角

3.已知直线a、b，平面α、β，那么下列命题中正确的是

A.若aα，bβ，a⊥b，则α⊥β

B.若aα，bβ，a∥b，则α∥β

C.若a∥α，a⊥b，则b⊥α

D.若a∥α，a⊥β，则α⊥β

4.设函数f（x）=2^－x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y=x对称，函数h（x）的图象由g（x）的图象向右平移1个单位得到，则h（x）为

A.－log₂（x－1）　　  　　　　　　　　　　　　　 B.－log₂（x+1）

C.log₂（－x－1）　　　　　　　　　　　　　　　　 D.log₂（－x+1）

5.“a>1”是“<1”的

A.充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

6.若a+b=0，则直线y=ax+b的图象可能是

7.设e₁、e₂是两个不共线向量,若向量a=3e₁+5e₂与向量b=me₁－3e₂共线，则m的值等于

A.－ 　　　　　　　　　　　 B.－　　　　　　　　　　　　 C.－ 　　　　　　　　　　　 D.－

8.S_n为等差数列{a_n}的前n项之和，若a₃=10，a₁₀=－4，则S₁₀－S₃等于

A.14　　  　　　　　　　　　B.6　　　　　　　　　　　　　　　C.12　　　　　　　　　　　　D.21

9.设a∈（0，），则间的大小关系为

A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　　　　 D.

10.椭圆=1（a>b>0）上两点A、B与中心O的连线互相垂直，则的值为

A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.

则平均产量较高与产量较稳定的分别是

A.棉农甲，棉农甲　　　　　　　　　　　　　　　 B.棉农甲，棉农乙

C.棉农乙，棉农甲　　　　　　　　　　　　　　　 D.棉农乙，棉农乙

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

11.已知圆x²+y²－6x－7=0与抛物线y²=2px（p>0）的准线相切，则p=______.

12.x（1－x）⁴－x³（1+3x）¹²的展开式中，含x⁴项的系数为______.

13.若x、y满足设y=kx，则k的取值范围是______.

14.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）=－f（x），给出下列四个结论：

①f（2）=0;②f（x）是以4为周期的函数；③f（x）的图象关于y轴对称；④f（x+2）=f（－x）.

其中所有正确命题的序号是______.

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分12分）工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内：

（1）三台机床都能正常工作的概率；

（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率.

16.（本小题满分12分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）.

（1）若=－1，求sin2α的值；

（2）若，且α∈（0，π），求与的夹角.

17.（本小题满分13分）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2，PA=AD=AB=1，E为PC的中点.

（1）求证：EB∥平面PAD；

（2）求直线BD与平面PCD所成的角；

（3）求二面角A—PC—D的大小.

18.（本小题满分13分）设等比数列{a_n}中，公比q≠1，S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=.

（1）用a₁，q，n表示;

（2）若成等差数列，求q;

（3）在（2）的条件下，设，求证：.

19.（本小题满分14分）已知双曲线=1（a>0，b>0）的右准线l₂与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点.

（1）求证：PF⊥l;

（2）若PF=3，且双曲线的离心率e=，求该双曲线方程；

（3）延长FP交双曲线左准线l₁和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率.

20.（本小题满分16分）已知函数f（x）=x³－x²+bx+c.

（1）若f（x）的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；

（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈［－1，2］时，f（x）<c²恒成立，求c的取值范围.

2004-2005届高考数学仿真试题（二）（广东）

参考答案

一、1.B　2.B  3.D　4.A　5.A  6.C　7.B　8.A  9.C　10.D　

二、11. 2　12. －40　13.［，2］　14.①②④

三、15.（1）三台机床都能正常工作的概率为P₁=0.9×0.8×0.85=0.612.　 6分

（2）三台机床至少有一台能正常工作的概率是

P₂=1－（1－0.9）（1－0.8）（1－0.85）=0.997. 　　 12分

16.（1）=（cosα－3，sinα），=（cosα，sinα－3），

∴由·=－1，得（cosα－3）cosα+sinα（sinα－3）=－1，　　2分

∴cosα+sinα=，　　4分

两边平方，得1+sin2α=，∴sin2α=－.　　　　　6分

（2）=（3+cosα，sinα），

∴（3+cosα）²+sin²α=13，　　 8分

∴cosα=，∵α∈（0，π），

∴α=，sinα=，　　 9分

∴，

设与的夹角为θ，则

cosθ=，　　　　　　　11分

∴θ=即为所求.　　　12分

17.（1）取PD的中点F，连结AF、EF，

则EF CD，又BACD，

∴EFBA， 2分

∴四边形ABEF为平行四边形，∴EB∥FA，

又∵EB平面PAD，FA平面PAD，

∴EB∥平面PAD.　　　　4分

（2）∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

又∵CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，又CD平面PCD，

∴平面PCD⊥平面PAD，

∵PA=AD，F为PD的中点，

∴AF⊥PD，

∴AF⊥平面PCD，又∵BE∥AF，∴BE⊥平面PCD，

连结DE，则∠BDE为直线BD与平面PCD所成的角，　　　 6分

在Rt△PCD中，，

∴在Rt△ABD中，，

∴在Rt△BDE中，cosBDE=，

∴∠BDE=30°，

即直线BD与平面PCD所成的角为30°.　　　　8分

（3）过F作FG⊥PC于G，连结AG，由三垂线定理得，AG⊥PC，

∴∠FGA为二面角A—PC—D的平面角，　　　10分

∵Rt△PFG∽Rt△PCD，

∴，

∴，

在Rt△AFG中，tanFGA=，

∴∠FGA=arctan，

即二面角A—PC—D的大小为arctan.　　　 13分

18.（1）S_n=，而{}是以为首项，为公比的等比数列，

∴，　　2分

∴=a₁²q^n－1.　　 4分

（2）由已知得：－3a₁²，a₁²q²，a₁²q⁴成等差数列，

∴2a₁²q²=－3a₁²+a₁²q⁴，　　 6分

∵a₁≠0，∴q⁴－2q²－3=0，

∵q²>0，∴q²=3，q=±.　　　　　　　8分

（3）∵a₁=1，q²=3，∴a_2n－1=a₁q^2n－2=（q²）^n－1=3^n－1，

∴，

两式相减，得

　　　 11分

∴.　　 13分

19.（1）右准线为x=，

由对称性不妨设渐近线l为y=x，

则P（），又F（c，0），

∴，　　　　2分

又∵，∴k_PF·k_l=－=－1，

∴PF⊥l.　　　　4分

（2）∵PF的长即F（c，0）到l:bx－ay=0的距离，

∴=3，即b=3，　　　　　　　6分

又，

∴，∴a=4，

故双曲线方程为=1.　　 8分

（3）PF的方程为：y=－（x－c），

由得，　　　　10分

∵M是PN的中点

∴，　　　　 12分

∵N在双曲线上，

∴，

即，

令t=e²，则t²－10t+25=0，∴t=5，即e=.　 14分

20.（1）f′(x)=3x²－x+b，

f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则f′(x)=0有实数解，　　　　　　2分

即方程3x²－x+b=0有实数解，

由Δ=1－12b≥0，　　　 4分

得b≤.　　 6分

（2）由题意，x=1是方程3x²－x+b=0的一个根，设另一根为x₀，则

∴8分

∴f（x）=x³－x²－2x+c，f′(x)=3x²－x－2，　　　11分

当x∈（－1，－）时，f′(x)>0;

当x∈（－，1）时，f′(x)<0;

x∈（1，2）时，f′(x)>0，

∴当x=－时，f（x）有极大值+c，又f（－1）=+c，f（2）=2+c，

即当x∈［－1，2］时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，

∵对x∈［－1，2］时，f（x）<c²恒成立，

∴c²>2+c，　　　　　 12分

解得c<－1或c>2，

故c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，+∞）.　　　　　　16分