2004-2005届高考数学仿真试题（四）（广东）

命题：廖美东　　　　　　　　  考试时间：2005-4-13

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　　　  正棱锥、圆锥的侧面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）　　　　　　　　　　　 

如果事件A、B相互独立，那么　　　　　　　　　　　  其中c表示底面周长，l表示斜

P（AB）=P（A）P（B）　　　　　　　　　　　  高或母线长

如果事件A在一次试验中发生的概率是　　　　　　　　 球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率　　　　

　　　　　　　　　　　　　　  其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.命题p:a²+b²＜0(a,b∈R);命题q:a²+b²≥0(a,b∈R),下列结论正确的是

A.“p或q”为真　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.“p且q”为真

C.“非p”为假　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.“非q”为真

2.已知向量a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°),那么｜a－b｜的值是

A.　　　　　　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　D.1

3.正项等比数列｛a_n｝满足：a₂·a₄=1,S₃=13,b_n=log₃a_n，则数列｛b_n｝的前10项的和是

A.65　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－65　　　　　　　　　　　　 C.25　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－25

4.空间四边形四条边所在的直线中，互相垂直的直线最多有

A.2对　　　　　　　　　　　　　B.3对　　　　　　　　　　　　　C.4对　　　　　　　　　　　　　D.5对

5.P为椭圆=1上一点，F₁、F₂为焦点，如果∠PF₁F₂=75°,∠PF₂F₁=15°,则椭圆的离心率为

A.　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　D.

6.有下面四个命题，其中正确命题的序号是

①“直线a、b为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a、b不相交”；

②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”;

③“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；

④“直线a∥平面α”的必要而不充分条件是“直线a平行于α内的一条直线.”

A.①③　　　　　　　　　　　　 B.②③　　　　　　　　　　　　 C.②④　　　　　　　　　　　　 D.③④

7.如果a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆的平均数（期望）为3，那么2(a₁－3)、2(a₂－3)、2(a₃－3)、2(a₄－3)、2(a₅－3)、2(a₆－3)的平均数（期望）是

A.0　　　　　　　　　　　　　　　B.3　　　　　　　　　　　　　　　C.6　　　　　　　　　　　　　　　D.12

8.如果函数y=log₂｜ax－1｜(a≠0)的图象的对称轴方程是x=－2,那么a等于

A.　　　　　　　　　　　　　　B.－　　　　　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　　　　　　　D.－2

9.若f(x)=ax³+3x²+2,且f′(－1)=4,则a等于

A.　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　 D.

10.已知抛物线y=ax²的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P（1，2）作PQ⊥l，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为

A.　　　　　　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　 D.

第Ⅱ卷(非选择题  共100分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

11.已知x、y满足线性约束条件则线性目标函数z=3x+2y的最小值是_________.

12.(1－x+x²)³(1－2x²)⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₄x¹⁴,则a₁+a₃+a₅+…+a₁₁+a₁₃=___________.

13.有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的面积之比为___________.

14.设函数f(x)=sin(wx+)(w＞0,－＜＜,给出以下四个结论：

①它的周期为π;②它的图象关于直线x=对称；③它的图象关于点（,0）对称；　　 ④在区间（－,0）上是增函数.

以其中两个论断为条件，另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题：

________________________________________________________________________.

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.（本小题满分12分）

沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（绿灯亮通过）的概率分别为，，，对于在该大街上行驶的汽车，

求：（1）在三个地方都不停车的概率；

（2）在三个地方都停车的概率；

（3）只在一个地方停车的概率.

16.(本小题满分12分)

已知平面向量a=(,－1),b=(,),若存在不为零的实数k和角α,使向量c=a+ (sinα－3)b,d=－ka+(sinα)b,且c⊥d，试求实数k的取值范围.

17.（本小题满分13分）

如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.

求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；

（2）求PC与平面PBD所成的角；

（3）在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角A—ED—B的大小；若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分13分）

如图所示，曲线段OMB是函数f(x)=x²(0＜x＜6)的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t,f(t)）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，

（1）试用t表示切线PQ的方程；

（2）试用t表示出△QAP的面积g(t);若函数g(t)在（m,n）上单调递减，试求出m的最小值；

（3）若S_△QAP∈［,64］，试求出点P横坐标的取值范围.

19.(本小题满分14分)

已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0，=－，

（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x₀,0），使得△ABE为等边三角形，求x₀的值.

20.（本小题满分16分）

设f₁(x)=,定义f_n+1 (x)=f₁［f_n(x)］,a_n=,其中n∈N^*.

(1)求数列｛a_n｝的通项公式；

（2）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n,Q_n=,其中n∈N^*,试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由.

2004-2005届高考数学仿真试题（四）（广东）

参考答案

1.A　2.D  3.D　4.B　5.A  6.C　7.A　8.B  9.D　10.C　

11.　12.－13  13.1∶2∶3  14.①②③④或①③②④

15.(1)P=××=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

（2）P=××=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

（3）P=××+××+××=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

16.∵c⊥d,

∴c·d=0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

即［a+(sinα－3)b］·［－ka+(sinα)b］=0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

也即－ka²+a·b·sinα－k(sinα－3)a·b+sinα(sinα－3)b²=0,

又∵a=(,－1),b=(,),

∴a·b=0,且a²=｜a｜²=4,b²=｜b｜²=1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

∴－4k+sinα(sinα－3)=0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

k=(sinα－)²－,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 10分

而－1≤sinα≤1,

∴当sinα=－1时，k取最大值1；

当sinα=1时，k取最小值－.

所以所求k的取值范围为［－,1］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

17.(1)∵PD⊥底面ABCD，

∴AC⊥PD，

又∵底面ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，

∴AC⊥平面PBD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 2分

又AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，

AC⊥平面PBD，

∴PC在平面PBD内的射影是PO，

∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

∵PD=AD,

∴在Rt△PDC中，PC=CD，

而在正方形ABCD中，OC=AC= CD，

∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°.

即PC与平面PBD所成的角为30°.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

（3）在平面PBD内作DE⊥PO交PB于点E，连AE，

则PC⊥平面ADE.以下证明：

由（1）知，AC⊥平面PBD，

∴AC⊥DE，

又PO、AC交于点O，

∴DE⊥平面PAC，

∴DE⊥PC，（或用三垂线定理证明）

而PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，

又∵AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，

∴PC⊥平面ADE，由AC⊥平面PBD，

∴过点O作OF⊥DE于F，

连AF，由三垂线定理可得，AF⊥DE，

∴∠OFA是二面角A—ED—B的平面角，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

设PD=AD=a，在Rt△PDC中，

求OF=a,

而AO=a,

∴在Rt△AOF中，∠OFA=60°，

即所求的二面角A—ED—B为60°.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 13分

18.（1）设点M（t,t²）,

又f′(x)=2x,

∴过点M的切线PQ的斜率为k=2t,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

∴切线PQ的方程为y－t²=2t(x－t),

即y=2tx－t².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

（2）由（1）可求得P(,0),Q(6,12t－t²)

∴g(t)=S_△QAP=(6－t)(12t－t²)

=t³－6t²+36t,(0＜t＜,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

由于g′(t)=t²－12t+36,

令g′(t)＜0,则4＜t＜12,

又0＜t＜6,∴4＜t＜6,

∴g(t)的单调递减区间为（4，6），

因此m的最小值为4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

（3）由（2）得，g(t)在（4，6）上递减，

∴此时S_△QAP∈(g(6),g(4))=(54,64),

令g′(t)＞0,得0＜t＜4,

∴g(t)在（0，4）上递增.

∴此时S_△QAP∈(g(0),g(4))=(0,64),

又g(4)=64,

∴函数g(t)的值域为(0,.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

由≤g(t)≤64,得1≤t＜6,

∴≤＜3,

∴点P的横坐标∈［,.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 13分

19.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－),Q(,0),　　　　　　　　 2分

由·=0，得（3，－）(x,)=0,

又得y²=4x,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,

所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

（2）设直线l:y=k(x+1),

其中k≠0,代入y²=4x,

得k²x²+2(k²－2)x+k²=0,①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

则x₁,x₂是方程①的两个实根，

∴x₁+x₂=－,x₁x₂=1,

所以，线段AB的中点坐标为(,),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分

线段AB的垂直平分线方程为

y－=－(x－),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

令y=0,x₀=+1,

所以点E的坐标为(+1,0)

因为△ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于｜AB｜,

而｜AB｜=

=·,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

所以，=,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解得k=±,得x₀=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

20.（1）f₁(0)=2,a₁==,

f_n+1(0)=f₁［f_n(0)］=,

a_n+1===

=－=－a_n,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

∴数列｛a_n｝是首项为,公比为－的等比数列，

∴a_n=(－)^n－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

（2）T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+(2n－1)a_2n－1+2na_2n,

－T_2n=(－a₁)+(－)2a₂+(－)3a₃+…+(－)(2n－1)a_2n－1+(－)·2na_2n

=a₂+2a₃+…+(2n－1)a_2n－na_2n,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

两式相减得T_2n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+na_2n,

所以，T_2n=+n×(－)^2n－1=－(－)²ⁿ+(－)^2n－1, 　 11分

T_2n=－(－)²ⁿ+(－)^2n－1=(1－).

∴9T_2n=1－,

Q_n=1－,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

当n=1时，2²ⁿ=4,(2n+1)²=9,∴9T_2n＜Q_n;

当n=2时，2²ⁿ=16,(2n+1)²=25,∴9T_2n＜Q_n;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

当n≥3时，2²ⁿ=［（1+1）ⁿ］²

=(C+C+C+…+C)²＞(2n+1)²,

∴9T_2n＞Q_n.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 16分