陕西远东一中02-03年高考数学模拟(四)

2003届国防科技工业

命　　 题：刘康宁

编　　  审：数学试题研究组

参考公式：

sincosβ=

正棱台、圆台的侧面积公式

S_台侧=（c′+c）l

其中c′、c分别表示上下底面周长，l表示斜高或母线长

球的体积公式

V_球=πR³

其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数在x=2时有最小值，则的一个值是

A． 　　　　　　　B．　　　　 C．　　　　　　 D．

2．【理】极坐标平面内，定点P（1，）到曲线上的点的最短距离是

A． 1　　　　　　  B．　　　　　　C．　　　　　 D．

【文】已知点P（0，1），M是圆上任意一点，则PM的最小值是

A．1　　　　　　  B．　　　　　  C．　　　　　 D．

3．在下列四个正方体中，能得出PQ⊥MN的是

4．实数a、b、c满足＜，则下列不等式中成立的是

A．a＞b－c　　　　　　　　　　　  B．a＜b＋c

C．＞　　　　D．＜

5．设全集为R，集合E=＜4或x＞6，F=＜x＜4，则

A．∪F=R　　　　 B．E∪=R　　　　 C．∪=R　　 D．E∪F=R

6．抛物线(＞0)与直线ax＋y－4=0的一个交点是（1,2），则抛物线

的焦点到该直线的距离是

A．　　　　  B．　　　　  C．　　　　  D．

7．S_n^­表示等差数列的前n项和，已知，那么等于

A． 　　　　　 B．　　 　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是

A．　 　　　　　B．　 　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

9．【理】设函数 的最大值为，最小值为，则的值等于

A．　　　　　　　　　  B．　　　　　　　　　　　C．　　0　　　　　　　　　　 D．

【文】若

A．　　 －3　　　　　　　　　 B．　　　 3　　　　　　　　  C．　　　－2　　　 　　　　 D．2

10．已知椭圆有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是

A．　　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　 

C．　　　　  　　　　　　　　　　　　D．

11．某市为改善生态环境，计划对城市外围A、B、C、D、E、

F六个区域（如图1）进行治理，第一期工程拟从这六个区域中

选取三个，根据要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方案

共有

A．6　　　　　　　　　　  B．10

C．16　　　　　　　　　  D．15

12．已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)在区间上是增函数，在上是减函数，且对于任意实数x , f(x)≥0恒成立，则a＋b＋c的最小值是

A．1　　　　　　　 B．－1　　　　　 C．2　　　　　　 D．－2

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．已知的展开式中不含x的项是，则正数a的值是_________。

14．已知y=f(x)的反函数是f^-1(x)，且f^-1(x)=

，，则方程f(x)=2003的解是_________。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

15．如图2，正四面体ABCD的棱长为1，H是顶点D的底面

ABC上的射影，M在DH上，且使得∠ABC=90°，则DM的长

为__________。

16．设双曲线（a＞0，b＞0）的右准线与两条渐近线相交于A、B两点，F为右焦点，以AB为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为_________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

　在复平面上复数z­­₁=2+i对应的点Z₁，将向量沿顺时针方向旋转锐角所得向量对应的复数z₂，且tg=。若△ABC的内角A=argz₁，B=argz₂最长边为1。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求△ABC的最短边的长。

18．（本小题满分12分）

如图3，在直三棱柱ABC—A ₁B ₁C ₁中，AC=BC=A ₁A=2，∠ACB=90°，E、F、G分别是AB、AC、AA₁的中点。

（Ⅰ）求证：B ₁C₁∥平面EFG；

（Ⅱ）求三棱锥B₁-EFG的体积。

19．（本小题满分12分）

　一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度立方成正比例关系，其它与速度无关的费用为每小时96元。已知在速度为每小时10千米时，每小时的燃料费是6元。要使行驶1千米所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少千米？

20．（本小题满分12分）

【理】如图4，A、B是两个定点，且AB=4。动点M到

A点的距离是6，线段MB的垂直平分线交MA于点P

，直线′垂直于直线AB，且B点到′的距离为。若

以AB所在直线为x轴，AB的垂平分线为y轴建直角坐标系。

（Ⅰ）求证：点P到点B的距离与到直线′的距离之比为定值；

（Ⅱ）若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，

求P点的坐标。

【文】设各项均为正数的数列的前n项和为S _n，且存在正数t，使得对所有正整数n，都有。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）如果＜t，求t的取值范围。

21．（本小题满分12分）

【理】已知数列的前三项依次为，，，前n项和为S _n，且S_n=an³+bn²+cn(a、b、c∈R)。

（Ⅰ）求S _n的表达式；

（Ⅱ）若数列满足b _n=a_n+1－a_n，为数列的前n项和，试求使得－2003取得最小值的n的值；

（Ⅲ）若T_n=，求证：＜（n≥2）。

【文】如图5，A、B是两个定点，且AB=4。动点M到

A点的距离是6，线段MB的垂直平分线交MA于点P。

直线′垂直于直线AB，且B点到′的距离为。若以

AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。

（Ⅰ）求证：点P点到点B的距离与到直线′的距离之比为定值；

（Ⅱ）若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标。

22．（本小题满分14分）

【理】已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=1－，且f(0)=m(m＞0，且m≠1)。

（Ⅰ）求f(2)及f(4)的值；

（Ⅱ）求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期；

（Ⅲ）若f(1)=，求f(2²ⁿ+7)的值（n∈N）。

【文】已知函数f(x)=(a＞0，a≠1),对定义域内的任意x都有f(2－x)＋f(2+x)=0。

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）若当时，f(x)的取值范围恰为，求实数a、b的值。