2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工类）（福建卷）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．－1　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　C．－32　　　　　　　D．32

2．tan15°+cot15°的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．2　　 　　　　　　　 B．2+　　　　　　C．4　　 　　　　　　　 D．

3．命题p：若a、b∈R，则a+b>1是a+b>1的充分而不必要条件；

　 命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞.则　　　　　　　 （　　）

　　　 A．“p或q”为假　　　　　　　　　　　　　　　　　B．“p且q”为真　

　　　 C．p真q假　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．p假q真

4．已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂是真正三角形，则这个椭圆的离心率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　 B．　　　　　　　　C．　　 　　　　　D．

5．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：

①若mα，n∥α，则m∥n；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.

其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　C．2　　　　 　　　　D．3

6．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　 　　B．　　　　　C．　　　　　　 D．

7．已知函数y=log₂x的反函数是y=f^—1(x)，则函数y= f^—1(1－x)的图象是　　　　　　　　（　　）

8．已知a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是　　　（　　）

　　　 A．　　  　　　　　 B．　　  　　　　　 C．　　　 　　　 D．

9．若(1-2^x)⁹展开式的第3项为288，则的值是　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．2　　 　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　C．　　 　　　　　　 D．

10．如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，

AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线

OA与截面ABC所成的角是（　　）

　　　 A．arcsin B．arccos

　　　 C．arcsin　　　　　　 D．arccos

11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－x－4，则（　　）

　　　 A．f(sin)<f(cos)　　　　　  　　　　 B．f(sin1)>f(cos1)

　　　 C．f(cos)<f(sin)　　　　 　　　　　D．f(cos2)>f(sin2)

12．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C

地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流

的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离

比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上

选一处M建一座码头，向B、C两地转运

货物.经测算，从M到B、M到C修建公

路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，

那么修建这两条公路的总费用最低是（　　）

　　　 A．(2－2)a万元 　　　　　　　　　　　　　　　　B．5a万元　　　　　　　

　　　 C．(2+1) a万元　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(2+3) a万元

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.

13．直线x+2y=0被曲线x²+y²－6x－2y－15=0所截得的弦长等于　　　　　  .

　 (x≠0)，

14．设函数f(x)=　　  a　　(x=0).　　　 在x=0处连续，则实数a的值为　　　　　  .

　　　　　　　　　　

15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：

①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率是0.9³×0.1；

③他至少击中目标1次的概率是1-0.1⁴.

其中正确结论的序号是　　　　　　（写出所有正

确结论的序号）.

16．如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各

切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一

个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的

底面边长为　　　　 时，其容积最大.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.

（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；

（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(m<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

19．（本小题满分12分）

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

20．（本小题满分12分）

某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.

（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A_n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B_n万元（须扣除技术改造资金），求A_n、B_n的表达式；

（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

21．（本小题满分14分）

　　 已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥x₁－x₂对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分）

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学答案（理工类）（福建卷）

一、1.A　2.C  3.D　4.A　5.B  6.C　7.B　8.B  9.A　10.D　11.D　12.B

二、13．4　　14.1/2　　 15.1，3　　16.2/3　

三、

17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分12分.

解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos²x+sin2x=1+2sin(2x+).

由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－.

∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，

即x=-.

（Ⅱ）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.

由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1.

∵m<，∴m=-，n=1.

18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：

ξ	0	1	2	3
P

甲答对试题数ξ的数学期望

Eξ=0×+1×+2×+3×=.

（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

P(A)===，

P(B)===.

因为事件A、B相互独立，

方法一：

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

P()=P()P()=1－)(1－)=.

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P=1－P()=1－=.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

方法二：

∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)

=×+×+×=.

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.

19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.

解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

过E作EF⊥CM于F，连结NF，

则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.

在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，

∴二面角N—CM—B的大小是arctan2.

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，

∴S_△CMN=CM·NF=，S_△CMB=BM·CM=2.

设点B到平面CMN的距离为h，

∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN·h=S_△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为.

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.

∵SA=SC，AB=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面　ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).

∴=（－4，0，0），=（0，2，2），

∵·=（－4，0，0）·（0，2，2）=0，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

　　 　　　_{·n=3x+y=0，}

则　　　 取z=1，则x=，y=-，

·n=－x+z=0，

∴n=(，－，1)，

又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，

∴cos(n，)==.

∴二面角N－CM－B的大小为arccos.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，，0），n=（，－，1）为平面CMN的一个法向量，

∴点B到平面CMN的距离d==.

20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：（Ⅰ）依题设，A_n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n²；

B_n=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.

（Ⅱ）B_n－A_n=(500n－－100) －(490n－10n²)

=10n²+10n－－100=10[n(n+1) － －10].

因为函数y=x(x+1) － －10在（0，+∞）上为增函数，

当1≤n≤3时，n(n+1) － －10≤12－－10<0；

当n≥4时，n(n+1) － －10≥20－－10>0.

∴仅当n≥4时，B_n>A_n.

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

21.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

解：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.　　　　①

设(x)=x²－ax－2，

方法一：

　　　　 　(1)=1－a－2≤0，

①　　　　　 －1≤a≤1，

　　　　 　　　(－1)=1+a－2≤0.

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a－1≤a≤1}.　　　方法二：

　　　 ≥0，　　　　　　　　　 <0，

①　　　　　　　　　　 或

　　　 　　(－1)=1+a－2≤0　　　　  (1)=1－a－2≤0

　　　 0≤a≤1　　　　 或　　　 －1≤a≤0

　 　　－1≤a≤1.

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0

∴A={a－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，　 ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，

　　　　　　 x₁+x₂=a，

∴　　　　  从而x₁－x₂==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴x₁-x₂=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥x₁－x₂对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.　　　　②

设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

　　 g(－1)=m²－m－2≥0，

②　

　　　 　g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥x₁－x₂对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{mm≥2，或m≤－2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m≠0时，

　　  m>0，　　　　　　　　m<0，

②　　　　　　　　  或

　　　 g(－1)=m²－m－2≥0　　　g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥x₁－x₂对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{mm≥2，或m≤－2}.

22. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依题意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，　　　　　 ①

得y＇=x.

∴过点P的切线的斜率k_切= x₁，

∴直线l的斜率k_l=－=-，

∴直线l的方程为y－x₁²=－ (x－x₁)，

方法一：

联立①②消去y，得x²+x－x₁²－2=0.

∵M是PQ的中点

　　 　　　x₀==-，

∴

　　  　　y₀=x₁²－(x₀－x₁).

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

方法二：

由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，

得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂)，

则x₀==k_l=-，

∴x₁=－，

将上式代入②并整理，得

y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²++1(x≠0).

（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).

分别过P、Q作PP＇⊥x轴，＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则

.

　　  　　y=x²

由　　　　　  消去x，得y²－2(k²+b)y+b²=0.　　　③

　　 　　 y=kx+b

　　　　　y₁+y₂=2(k²+b)，

则

　　 　　 y₁y₂=b².

方法一：

∴b()≥2b=2b=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，

∴的取值范围是（2，+）.

方法二：

∴=b=b.

当b>0时，=b==+2>2；

当b<0时，=－b=.

又由方程③有两个相异实根，得△=4(k²+b)²-4b²=4k²(k²+2b)>0，

于是k²+2b>0，即k²>－2b.

所以>=2.

∵当b>0时，可取一切正数，

∴的取值范围是（2，+）.

方法三：

由P、Q、T三点共线得k_TQ=K_TP，

即=.

则x₁y₂－bx₁=x₂y₁－bx₂，即b(x₂－x₁)=(x₂y₁－x₁y₂).

于是b==－x₁x₂.

2

2

∴==+=+≥2.

∵可取一切不等于1的正数，

∴的取值范围是（2，+）.