2004年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷　

参考公式：

　　　 如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

　　　 如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

　　　 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P_n(k)=CP^k(1－P)^n－k

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则集合=　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．{0}　　　　　　　　　　 B．{0，1}　　　　　　　　C．{1，2}　　　　　　　 D．{0，2}

2．函数的反函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　D．

3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

4．=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　C．　　　　　　　 D．

5．不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　 D．

6．等差数列中，，则此数列前20项和等于

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．160　　　　　　　　　　 B．180　　　　　　　　　　 C．200　　　　　　　　　　 D．220

7．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．如果、n是异面直线，那么

　　　 B．如果、n是异面直线，那么相交

　　　 C．如果、n共面，那么

　　　 D．如果、n共面，那么

8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，

　 则此椭圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．

9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），

　要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．210种　　　　　　　　B．420种　　　　　　　　 C．630种　　　　　　　　D．840种

10．已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心

　　　 到平面ABC的距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　D．2

11．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，

　　　 ∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

12．设函数为奇函数，则（　　）

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．5

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．展开式中的系数为　　　　 　　 .

14．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且a=2，b=4，则a与b夹角的余弦值等于

　　　　　　　 .

15．函数的最大值等于　　　　 .

16．设满足约束条件：

则的最大值是　　　　　　　  .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知α为第二象限角，且 sinα=求的值.

18．（本小题满分12分）

　　　 求函数在[0，2]上的最大值和最小值.

19．（本小题满分12分）

　　　 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；

（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率.

20．（本小题满分12分）

　　　 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；

（Ⅱ）证明PA⊥BD.

21．（本小题满分12分）

　　　 双曲线的焦点距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.

22．（本小题满分14分）

　　　 已知函数的所有正数从小到大排成数列

（Ⅰ）证明数列{}为等比数列；

（Ⅱ）记是数列{}的前n项和，求

2004年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题

1—12　D C A D A B C A B A B C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．28　 14．　 15．　　16．2

三、解答题

17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等

　　　 基础知识和基本技能.满分12分.

解：

　　　　　　　　　　 

　 当为第二象限角，且时

　 ，

所以=

18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小

　　　 值以及综合运算能力.满分12分.

　 解：

令　

化简为　解得

当单调增加；

当单调减少.

所以为函数的极大值.

又因为　

所以　 为函数在[0，2]上的最小值，为函数

在[0，2]上的最大值.

19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解

　　　 决实际问题的能力.满分12分.

　 解：（Ⅰ）的可能值为－300，－100，100，300.

P（=－300）=0.2³=0.008, P（=－100）=3×0.2²×0.8=0.096,

P（=100）=3×0.2×0.8²=0.384, P（=300）=0.8³=0.512,

所以的概率分布为

	－300	－100	100	300
P	0.008	0.096	0.384	0.512

根据的概率分布，可得的期望

E=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.

（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（≥0）=0.384+0.512=0.896.

20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析

　　　 问题能力.满分12分.

　 解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.

根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，

由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积

V_P—ABCD=

（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得

P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）

所以

因为 所以PA⊥BD.

解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，

又知AD=4，AB=8，

得

所以　Rt△AEO∽Rt△BAD.

　　　　得∠EAO=∠ABD.

　　　　所以∠EAO+∠ADF=90°

　 所以　AF⊥BD.

　 因为　直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分.

　解：直线的方程为，即　

由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离

，

同理得到点（－1，0）到直线的距离

由　 即　 

于是得　

解不等式，得　 由于所以的取值范围是

22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以

　　　 及综合运用的能力.满分14分.

（Ⅰ）证明：

由得

解出为整数，从而

　　 　 

　

　　　 所以数列是公比的等比数列，且首项

（Ⅱ）解：

　　　　 

从而　

　　

因为，所以