11 导数
一、选择题
1．（福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么
导函数
的图象可能是（ A ）
2．（辽宁6）设P为曲线C：
上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
，则点P横坐标的取值范围为（ A
）
A．
B．
C．
D．
3．（全国Ⅰ4）曲线
在点
处的切线的倾斜角为（ B ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（全国Ⅱ7）设曲线
在点（1，
）处的切线与直线
平行，则
（ A ）
A．1 B．
C．
D．
二、填空题
1．（北京13）如图，函数
的图象是折线段
，其中
的坐标分别为
，则
_________；2
函数在
处的导数
_________．
2．（江苏14）
对于
总有
成立，则=
4
三、解答题
1．（安徽20）（本小题满分12分）
设函数
为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式
对任意
都成立，求实数
的取值范围。
解: (1)
，由于函数在时取得极值，所以 
即 
(2) 方法一
由题设知：
对任意都成立
即
对任意都成立
设 
, 则对任意
，
为单调递增函数
所以对任意，
恒成立的充分必要条件是
即 
，
于是的取值范围是
方法二
由题设知：对任意都成立
即对任意都成立
于是
对任意都成立，即
于是的取值范围是
2．（北京17）（本小题共13分）
已知函数
，且
是奇函数．
（Ⅰ）求，
的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，
所以，对任意的
，
，即
．
又
所以
．
所以
解得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
所以
．
当
时，由
得
．
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
所以，当时，函数在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
当
时，
，所以函数在
上单调递增．
3．(福建21)（本小题满分12分）
已知函数
的图象过点（-1，-6），且函数
的图象关于y轴对称.
(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.
解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①
由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;
而g(x)图象关于y轴对称，所以－
＝0，所以m=-3,
代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是（0，2）.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),
令f′(x)＝0得x=0或x=2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
| X | (-∞.0) | 0 | (0,2) | 2 | (2,+ ∞) |
| f′(x) | + | 0 | － | 0 | ＋ |
| f(x) |
| 极大值 | 极小值 |
由此可得：
当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；
当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；
当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；
当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.
综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.
4．（宁夏21）（本小题满分12分）
设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线
和直线
所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
21．解：
（Ⅰ）方程可化为
．
当
时，
．···································································································· 2分
又
，
于是
解得
故
．········································································································· 6分
（Ⅱ）设
为曲线上任一点，由
知曲线在点处的切线方程为
，
即
．
令得
，从而得切线与直线的交点坐标为
．
令得
，从而得切线与直线的交点坐标为
．·············· 10分
所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为
．
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为
． 12分
5．（江西21）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图像与直线
恰有两个交点，求的取值范围．
解：（1）因为
令得
由
时，在根的左右的符号如下表所示
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 极小值 |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
所以的递增区间为
的递减区间为
（2）由（1）得到
，
要使的图像与直线恰有两个交点，只要
或
，
即
或
.
6．（湖南21）已知函数
有三个极值点。
（I）证明：
；
（II）若存在实数c，使函数在区间
上单调递减，求的取值范围。
解：（I）因为函数有三个极值点,
所以
有三个互异的实根.
设
则
当
时，
在
上为增函数;
当
时，
在
上为减函数;
当
时， 在
上为增函数;
所以函数在
时取极大值,在时取极小值.
当
或
时,
最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以
且
.
即
,且
,
解得
且
故.
（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.
不妨设为
（
），则
所以的单调递减区间是
,
若在区间上单调递减，
则
, 或,
若,则
.由（I）知，
,于是
若,则
且
.由（I）知，
又
当
时，
;
当
时，
.
因此, 当时，
所以
且
即
故
或反之, 当或
时，
总可找到
使函数在区间上单调递减.
综上所述, 的取值范围是
.
7．（辽宁22）（本小题满分14分）
设函数
在
，
处取得极值，且
．
（Ⅰ）若
，求
的值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
解：
．①················································································ 2分
（Ⅰ）当时，
；
由题意知
为方程
的两根，所以
．
由，得
．··························································································· 4分
从而
，
．
当
时，
；当
时，．
故在
单调递减，在
，
单调递增．···································· 6分
（Ⅱ）由①式及题意知为方程
的两根，
所以
．
从而
，
由上式及题设知
．························································································· 8分
考虑
，
．········································································ 10分
故在
单调递增，在
单调递减，从而在
的极大值为
．
又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为
．
所以
，即的取值范围为
．··············································· 14分
8．（全国Ⅰ21）（本小题满分12分）
已知函数
，
．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间
内是减函数，求的取值范围．
解：（1）
求导：
当
时，
，
在
上递增
当
，求得两根为
即在
递增，
递减，
递增
（2）
，且
解得：
9．（全国Ⅱ21）（本小题满分12分）
设，函数
．
（Ⅰ）若
是函数
的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数
，在
处取得最大值，求的取值范围．
解：（Ⅰ）
．
因为是函数的极值点，所以
，即
，因此．
经验证，当时，是函数的极值点．··············································· 4分
（Ⅱ）由题设，
．
当在区间
上的最大值为
时，
，
即
．
故得
．··············································································································· 9分
反之，当时，对任意
，
，
而
，故在区间上的最大值为．
综上，的取值范围为
． 12分
10．(山东21)（本小题满分12分）
设函数
，已知
和为的极值点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设
，试比较与的大小．
解：（Ⅰ）因为
，
又和为的极值点，所以
，
因此
解方程组得
，
．
（Ⅱ）因为，，
所以
，
令，解得
，
，
．
因为当
时，；
当
时，．
所以在
和
上是单调递增的；
在
和
上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知
，
故
，
令
，
则
．
令
，得，
因为
时，
，
所以
在上单调递减．
故时，
；
因为
时，
，
所以在上单调递增．
故时，．
所以对任意
，恒有
，又
，
因此
，
故对任意，恒有
．
11．（四川20）（本小题满分12分）
设和是函数
的两个极值点。
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求
的单调区间
【解】：（Ⅰ）因为
由假设知：
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当
时，
当
时，
因此的单调增区间是
的单调减区间是
12．(天津21)（本小题满分14分）
设函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的
，不等式
在
上恒成立，求的取值范围．
（Ⅰ）解：
．
当时，
．
令，解得
，
，
．
当变化时，，的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以在
，
内是增函数，在
，
内是减函数．
（Ⅱ）解：
，显然不是方程
的根．
为使仅在处有极值，必须
恒成立，即有
．
解此不等式，得
．这时，
是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是
．
（Ⅲ）解：由条件可知
，从而
恒成立．
当
时，；当
时，．
因此函数在上的最大值是
与
两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当
即
在上恒成立．
所以
，因此满足条件的的取值范围是
．
13．（浙江21）（本题15分）已知是实数，函数
。
（Ⅰ）若
，求的值及曲线在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间
上的最大值。
（Ⅰ）解：
，
因为
，
所以
．
又当时，
，
，
所以曲线在
处的切线方程为
．
（Ⅱ）解：令，解得，
．
当
，即
时，在上单调递增，从而
．
当
，即
时，在上单调递减，从而
．
当
，即
时，在
上单调递减，在
上单调递增，从而
综上所述， 
14．（重庆19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）
设函数
若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值;
（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.
解：(Ⅰ)因
所以
即当
因斜率最小的切线与
平行，即该切线的斜率为-12，
所以
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
15．(湖北17).（本小题满分12分）
已知函数
（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.
解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=
m,
当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：
| x | (－∞,－m) | －m | (－m, |
| ( |
| f’(x) |
| 0 | － | 0 | + |
| f (x) | 极大值 | 极小值 |
)
+从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，
即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.
又f(－1)＝6，f(－)＝
，
所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
16．(陕西22) 本小题满分14分）
设函数
其中实数
．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当函数与
的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为
，求的值域；
（Ⅲ）若与在区间
内均为增函数，求的取值范围．
解：（Ⅰ）
，又，
当
时，；当
时，，
在
和
内是增函数，在
内是减函数．
（Ⅱ）由题意知
，
即
恰有一根（含重根）． 
≤
，即
≤≤
，
又， 
．
当时，才存在最小值，
． 
，
． 的值域为
．
（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在
内是增函数．
由题意得
，解得≥
；
当
时，在
和
内是增函数，在
内是增函数．
由题意得
，解得≤
；
综上可知，实数的取值范围为
．