08高考文科试题分类立体几何

2014-5-11 0:13:27 下载本试卷

08 立体几何

一、选择题

1.(安徽3).已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是省( B )

A.          B.  

C.      D.

2.(北京8)如图,动点在正方体的对角线上,过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于.设,则函数的图象大致是( B )

3.(福建6)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( D )

A.      B.    

 C.       D.

4.(广东7)将正三棱柱截去三个角(如图1所示ABC分别是△CHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )

        

5.(宁夏12)已知平面平面,点,直线,直线,直线,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( D )

A.    B.    C.    D.

6.(湖南5)已知直线m,n和平面满足,则 ( D )

         

7.(湖南9)长方体的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=

,则顶点A、B间的球面距离是( B  )

A.    B.  C.    D.2

8.(江西9).设直线与平面相交但垂直,则下列说法中正确的是( B )

A.在平面内有且只有一条直线与直线垂直

B.过直线有且只有一个平面与平面垂直

C.与直线垂直的直线可能与平面平行

D.与直线平行的平面可能与平面垂直

9.(辽宁12)在正方体中,分别为棱的中点,则在空间中与三条直线都相交的直线( D )

A.不存在      B.有且只有两条     C.有且只有三条    D.有无数条

10.(全国Ⅰ11)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于( B )

A.      B.     C.     D.

11.(全国Ⅱ8)正四棱锥的侧棱长为,侧棱与底面所成的角为,则该棱锥的体积为( B )

A.3      B.6      C.9      D.18

12.(全国Ⅱ12)已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( C  )

A.1      B.        C.        D.2

13.(山东6) 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,

可得该几何体的表面积是(  D  )

A.     B.    

C.     D.

14.(上海13)给定空间中的直线l及平面.条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的( C )

A.充分非必要条件        B.必要非充分条件

C.充要条件            D.既非充分又非必要条件

15.(四川8)设是球心的半径的中点,分别过作垂直于的平面,截球面得两个圆,则这两个圆的面积比值为:( D )

(A)     (B)    (C)    (D)

16.(四川10)设直线平面,过平面外一点都成角的直线有且只有:( B )

(A)1条  (B)2条  (C)3条  (D)4条

17.(四川12)若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为的菱形,则该棱柱的体积等于( B )

(A)     (B)      (C)     (D)

18.(天津5) 设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是( C  )

A.       B.

C.       D.

19(浙江9)对两条不相交的空间直线,必定存在平面,使得 ( B  )

(A)      (B)

(C)       (D)

20.(重庆11)如题(11)图,模块①-⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为 (  A )

(A)模块①,②,⑤                     (B)模块①,③,⑤

(C)模块②,④,⑥                   (D)模块③,④,⑤

21.(湖北4).用与球必距离为1的平面去截面面积为,则球的体积为 (  D )

  A.         B.       C.      D.

22.(陕西8)长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为( C )

A.      B.      C.      D.

23.(陕西10) 如图,的距离分别是所成的角分别是内的射影分别是,若,则( D  )

A.       B.

C.       D.

二、填空题

1(安徽16)已知点在同一个球面上,

,则两点间的球面距离是       

2(福建15)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为    ,则其外接球的表面积是   . 93.(广东15)(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切点,切点为APA=2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于B点,PB=1,则圆O的半径R=________.

4.(宁夏14)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为,底面周长为3,则这个球的体积为      

5.(江西15)连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦的长度分别等于,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大值为      .5

6.(辽宁14)在体积为的球的表面上有ABC三点,AB=1,BC=AC两点的球面距离为,则球心到平面ABC的距离为_________.

7.(全国Ⅰ16)已知菱形中,,沿对角线折起,使二面角,则点所在平面的距离等于      

8.(全国Ⅱ16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:

充要条件①                       

充要条件②                         .

(写出你认为正确的两个充要条件)

两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形.

注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分.

9.(浙江15)已知球O的面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=,则球O点体积等于   

10.(天津13) 若一个球的体积为,则它的表面积为     

三、解答题

1.(安徽19).(本小题满分12分)

如图,在四棱锥中,底面四边长为1的 菱形,, , ,的中点。

(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小

(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。

方法一(综合法)

1

  为异面直线所成的角(或其补角

       作连接

       

     

    

        所以 所成角的大小为

(2)点A和点B到平面OCD的距离相等,

连接OP,过点A作 于点Q,

      又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

  

        ,所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)

于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)所成的角为,

  ,

所成角的大小为

(2)

设平面OCD的法向量为,则

,解得

设点B到平面OCD的距离为,则在向量上的投影的绝对值,

   , .

所以点B到平面OCD的距离为

2.(北京16)(本小题共14分)

如图,在三棱锥中,

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角的大小.

解法一:

(Ⅰ)取中点,连结

平面

平面

(Ⅱ)

,即,且

平面

中点.连结

在平面内的射影,

是二面角的平面角.

中,

二面角的大小为

解法二:

(Ⅰ)

平面

平面

(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系

中点,连结

是二面角的平面角.

二面角的大小为

3.(福建19)(本小题满分12分)

如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PAPD=,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,OAD中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

解法一:

(Ⅰ)证明:在△PAD卡中PAPDOAD中点,所以POAD.

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCDADPO平面PAD

所以PO⊥平面ABCD.

(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中,BCAD,AD=2AB=2BC

ODBCODBC,所以四边形OBCD是平行四边形,

所以OBDC.

由(Ⅰ)知POOB,∠PBO为锐角,

所以∠PBO是异面直线PBCD所成的角.

因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以OB

在Rt△POA中,因为APAO=1,所以OP=1,

在Rt△PBO中,PB,

cos∠PBO=,

所以异面直线PBCD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)由(Ⅱ)得CDOB

在Rt△POC中,PC

所以PCCDDPS△PCD=·2=.

S△=

设点A到平面PCD的距离h

VP-ACD=VA-PCD

SACD·OPSPCD·h

×1×1=××h

解得h.

解法二:

(Ⅰ)同解法一,

(Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),

D(0,1,0),P(0,0,1).

所以=(-1,1,0),=(t,-1,-1),

∞〈〉=

所以异面直线PBCD所成的角的余弦值为

(Ⅲ)设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,x0),

由(Ⅱ)知=(-1,0,1),=(-1,1,0),

则  n·=0,所以  -x0+ x0=0,

n·=0,    -x0+ y0=0, 
x0=y0=x0,    

x0=1,得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d

4.(广东18)(本小题满分14分)

如图5所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD.

(1)求线段PD的长;

(2)若PC=R,求三棱锥P-ABC的体积.

解:(1) BD是圆的直径

          又 ,

  ,  ;

 (2 ) 在中,

    

     又 

    底面ABCD

    

三棱锥的体积为

   .

5.(宁夏18)(本小题满分12分)

如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的正视图和俯视图在下面画出(单位:cm)

(Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;

(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

(Ⅲ)在所给直观图中连结,证明:

解:(Ⅰ)如图

               ···················································································· 3分

(Ⅱ)所求多面体体积

.··································································· 7分

(Ⅲ)证明:在长方体中,

连结,则

因为分别为中点,

所以

从而.又平面

所以. 12分

6.(江苏16)(14分)

在四面体中,,且E、F分别是AB、BD的中点,

求证:(1)直线EF//面ACD

(2)面EFC⊥面BCD

【解析】:本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定,

考查空间想象能力、推理论证能力。

(1)∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线∴EF//AD

又∵面ACD,AD面ACD∴直线EF//面ACD

(2)

 

 

   

7.(江西20)如图,正三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度均为2.分别是的中点,的中点,过的平面与侧棱或其延长线分别相交于,已知

(1)求证:⊥面

(2)求二面角的大小.

解 :(1)证明:依题设,的中位线,所以

∥平面,所以

的中点,所以

。       

因为

所以⊥面,则

因此⊥面

(2)作,连

因为⊥平面

根据三垂线定理知,,       

就是二面角的平面角。    

,则,则的中点,则

,由得,,解得

中,,则,

所以,故二面角

解法二:(1)以直线分别为轴,建立空间直角坐标系,

 

所以

所以     

所以平面      

,故:平面

(2)由已知

共线得:存在

同理:

是平面的一个法向量,

是平面的一个法量

       

所以二面角的大小为         

8.(江苏选修)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点,记.当为钝角时,求的取值范围.

解:由题设可知,以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则有,,,

 由,得,所以

  

显然不是平角,所以为钝角等价于

 ,则等价于

,得

因此,的取值范围是

9.(湖南18)(本小题满分12分)

如图所示,四棱锥PABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,ECD的中点,PA⊥底面积ABCDPA.

(Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB

(Ⅱ)求二面角ABEP的大小.

解  解法一(Ⅰ)如图年示,连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,ΔBCD是等边三角形.因为ECD的中点,所以BECD,又ABCD,所以BEAB.又因为PA⊥平面ABCDBE平面ABCD,所以PABE.而PAABA,因此BE⊥平面PAB.

BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥平面PABPB平面PAB,所以PBBE.

ABBE,所以∠PBA是二面角ABEP的平面角.

在RtΔPAB中,tan∠PBA,∠PBA=60°.

故二面角ABEP的大小是60°.

解法二  如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(),D(),P(),E().

(Ⅰ)因为,平面PAB的一个法向量是=(0,1,0),所以共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF,所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知=(1,0,-), =(0,,0),

=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量,则有

所以y1=0,x­1=z1.故可取=(,0,1).

而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).

于是,cos<,>=.

故二面角A-BE-P的大小是

10.(辽宁19)(本小题满分12分)

如图,在棱长为1的正方体中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF,截面PQGH

(Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;

(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,

并求出这个值;

(Ⅲ)若,求与平面PQEF所成角的正弦值.

解法一:

(Ⅰ)证明:在正方体中,

又由已知可得

所以

所以平面

所以平面和平面互相垂直.·································································· 4分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

,是定值.······································································ 8分

(Ⅲ)解:设于点,连结

因为平面

所以与平面所成的角.

因为,所以分别为的中点.

可知

所以.················································································ 12分

解法二:

D为原点,射线DADCDD′分别为xyz轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz.由已知得,故

(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

因为,所以是平面PQEF的法向量.

因为,所以是平面PQGH的法向量.

因为,所以

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.····································································· 4分

(Ⅱ)证明:因为,所以,又,所以PQEF为矩形,同理PQGH为矩形.

在所建立的坐标系中可求得

所以,又

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为,是定值.············································· 8分

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知是平面的法向量.

中点可知,分别为的中点.

所以,因此与平面所成角的正弦值等于

. 12分

11.(全国Ⅰ18)(本小题满分12分)

四棱锥中,底面为矩形,侧面底面

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)设侧面为等边三角形,求二面角的大小.

解:(1)取中点,连接于点

又面

,即

(2)在面内过点做的垂线,垂足为

即为所求二面角.

12.(全国Ⅱ20)(本小题满分12分)

如图,正四棱柱中,,点上且

(Ⅰ)证明:平面

(Ⅱ)求二面角的大小.

解法一:

依题设,

(Ⅰ)连结于点,则

由三垂线定理知,.···················································································· 3分

在平面内,连结于点

由于

互余.

于是

与平面内两条相交直线都垂直,

所以平面.······························································································· 6分

(Ⅱ)作,垂足为,连结.由三垂线定理知

是二面角的平面角.································································· 8分

所以二面角的大小为.·························································· 12分

解法二:

为坐标原点,射线轴的正半轴,

建立如图所示直角坐标系

依题设,

.·································· 3分

(Ⅰ)因为

所以平面.······························································································· 6分

(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则

,则.······························································ 9分

等于二面角的平面角,

所以二面角的大小为.························································· 12分

13.(山东19)(本小题满分12分)

如图,在四棱锥中,平面平面是等边三角形,已知

(Ⅰ)设上的一点,证明:平面平面

(Ⅱ)求四棱锥的体积.

(Ⅰ)证明:在中,

由于

所以

又平面平面,平面平面

平面

所以平面

平面

故平面平面

(Ⅱ)解:过

由于平面平面

所以平面

因此为四棱锥的高,

是边长为4的等边三角形.

因此

在底面四边形中,

所以四边形是梯形,在中,斜边边上的高为

此即为梯形的高,

所以四边形的面积为

14.(上海16)(本题满分12分)

如图,在棱长为2的正方体中,EBC1的中点.求直线DE与平面ABCD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

【解】过EEF⊥BC,交BCF,连接DF.

EF⊥平面ABCD

∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分

由题意,得EF=

…………………………..8分

EFDF, ∴ ……………..10分

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分

15.(四川19)(本小题满分12分)

 如图,平面平面,四边形都是直角梯形,

分别为的中点

(Ⅰ)证明:四边形是平行四边形;

(Ⅱ)四点是否共面?为什么?

(Ⅲ)设,证明:平面平面

【解1】:(Ⅰ)由题意知,

所以

,故

所以四边形是平行四边形。

(Ⅱ)四点共面。理由如下:

的中点知,,所以

由(Ⅰ)知,所以,故共面。又点在直线

所以四点共面。

(Ⅲ)连结,由是正方形

。由题设知两两垂直,故平面

因此在平面内的射影,根据三垂线定理,

,所以平面

由(Ⅰ)知,所以平面

由(Ⅱ)知平面,故平面,得平面平面

【解2】:由平面平面,得平面

为坐标原点,射线轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系

(Ⅰ)设,则由题设得

  

所以

于是

又点不在直线

所以四边形是平行四边形。

(Ⅱ)四点共面。理由如下:

由题设知,所以

,故四点共面。

(Ⅲ)由得,所以

,因此

,所以平面

故由平面,得平面平面

16.(天津19)(本小题满分12分)

如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知

(Ⅰ)证明平面

(Ⅱ)求异面直线所成的角的大小;

(Ⅲ)求二面角的大小.

(Ⅰ)证明:在中,由题设,可得,于是.在矩形中,,又,所以平面

(Ⅱ)解:由题设,,所以(或其补角)是异面直线所成的角.

中,由余弦定理得

由(Ⅰ)知平面平面

所以,因而,于是是直角三角形,

所以异面直线所成的角的大小为

(Ⅲ)解:过点,过点,连结

因为平面平面,所以.又,因而平面,故在平面内的射影.由三垂线定理可知,.从而是二面角的平面角.

由题设可得,

于是在中,

所以二面角的大小为

17.(浙江20)(本题14分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BCF=CEF=,AD=,EF=2。

(Ⅰ)求证:AE//平面DCF;

(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为

方法一:

(Ⅰ)证明:过点,连结

可得四边形为矩形,

为矩形,

所以,从而四边形为平行四边形,

因为平面平面

所以平面

(Ⅱ)解:过点的延长线于,连结

由平面平面,得

平面

从而

所以为二面角的平面角.

中,因为,所以

又因为,所以

从而

于是

因为

所以当时,二面角的大小为

方法二:如图,以点为坐标原点,以分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系

(Ⅰ)证明:

所以,从而

所以平面

因为平面

所以平面平面

平面

(Ⅱ)解:因为

所以,从而

解得

所以

与平面垂直,

解得

又因为平面

所以

得到

所以当时,二面角的大小为

18.(重庆20)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分.)

    如图(20)图, 为平面,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角的大小为,求:

   (Ⅰ)点B到平面的距离;

(Ⅱ)异面直线lAB所成的角(用反三角函数表示).

解:(1)如答(20)图,过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点BBD⊥CB′,交CB′的延长线于D.

由已知AA′⊥l,可得DB′⊥l,又已知BB′⊥l,故l⊥平面BB′D,得BDl又因BDCB′,从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.

B′C⊥lBB′⊥l,故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意,∠BB′C=

.因此在Rt△BB′D中,BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′·sinBB′D

=.

(Ⅱ)连接AC、BC.因B′C∥A′A,B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB为矩形,故ACl.所以∠BAC或其补角为异面直线lAB所成的角.

在△BB′C中,B′B=2,B′C=3,∠BB′C=,则由余弦定理,

BC=.

BD平面,且DCCA,由三策划线定理知ACBC.

故在△ABC中,BCA=sinBAC=.

因此,异面直线l与AB所成的角为arcsin.

19.(湖北18).(本小题满分12分)

  如图,在直三棱柱中,平面侧面

  (Ⅰ)求证:

 (Ⅱ)若,直线AC与平面所成的角为,二面角

(Ⅰ)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作ADA1BD,则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1A1B

AD⊥平面

A1BC.又BC平面A1BC

所以ADBC.

因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,

AA1⊥底面ABC,所以AA1BC.

AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,

AB侧面A1ABB1

ABBC.

  (Ⅱ)证法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角,∠ABA1就是二面角A1BCA的颊角,即∠ACDθ,∠ABA1=j.

    于是在RtΔADC中,sinθ=,在RtΔADA1中,sin∠AA1D,

   ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角,所以θ=∠AA1D.

   又由RtΔA1AB知,∠AA1D+j=∠AA1B+j=,故θ+j=.

   证法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BCBABB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

AB=cca=,则B(0,0,0),A(0,c,0),C(),

A1(0,c,a),于是=(0,c,a),

,=(0,c,a)

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n=(0,-ac),于是

n·=ac>0,n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.

sinq=cosb=,

cosj=

所以sinq=cosj=sin(),又0<q,j<,所以q+j=.

20.(陕西19)(本小题满分12分)

三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示,截面为平面中点.

(Ⅰ)证明:平面平面

(Ⅱ)求二面角的大小.

解法一:(Ⅰ)平面平面

.在中,中点

.又平面

平面平面平面

(Ⅱ)如图,作点,连接

由已知得平面

在面内的射影.

由三垂线定理知

为二面角的平面角.

点,

中,

中,

即二面角

解法二:(Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系,

中点,点坐标为

,又

平面,又平面平面平面

(Ⅱ)平面,如图可取为平面的法向量,

设平面的法向量为,则

如图,令,则

即二面角为所求.