2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类 湖南卷）

一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.

1．函数 的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　 B．　　　　　C．　　D．

2．设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　 B．　　　　　C．　　　　 D．

3．设是函数f(x)=的反函数，则下列不等式中恒成立的是　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　D．

4．如果双曲线上一点P到右焦点的距离为, 那么点P到右准线的距离是（　 ）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．13　　　　　　　　　　　 C．5　　　　　　　　　　　　D．

5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B　C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．90°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．45°　　　　　　　　　 D．30°

6．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为　 　　　 （　　）

　　　 A．分层抽样法，系统抽样法　　　　　　　　　 B．分层抽样法，简单随机抽样法

　　　 C．系统抽样法，分层抽样法　　　　　　　　　 D．简单随机抽样法，分层抽样法

7．若f(x)=-x²+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是　　　 （　　）

　　　 A．　 B．　　C．（0，1）　　　　　　　D．

8．已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（　　）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　C．16，0　　　　　　　　 D．4，0

9．若函数f(x)=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f ^/(x)的图象是　　　　　　　　（　　）

10．从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为　　　　　　　（　　）

　　　 A．56　　　　　　　　　　　B．52　　　　　　　　　　　 C．48　　　　　　　　　　　D．40

11．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．4200元~4400元　　　　　　　　　　　　　　　　 B．4400元~4600元　 　　　　　　　　　　

　　　 C．4600元~4800元　　　　　　　　　　　　　　　D．4800元~5000元

12．设集合U={(x,y)x∈R,y∈R}, A={(x,y)2x-y+m>0}, B={(x,y)x+y-n≤0},那么点P（2，3）

的充要条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

二、填空题：本大题 共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x²-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________.

14．的展开式中的常数项为___________(用数字作答)

15．F₁，F₂是椭圆C：的焦点，在C上满足PF₁⊥PF₂的点P的个数为__________.

16．若直线y=2a与函数y=a^x-1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.

三、解答题：本大题 共6小题，共74分.　解答应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤.

17．（本小题满分12分）

18．（本小题满分12分）

如图，在底面 是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.

（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.

19．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.

（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

20．（本小题满分12分）

　　已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁,2a₇,3a₄ 成等差数列.

（I）证明　12S₃,S₆,S₁₂-S₆成等比数列；

（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2.

21．（本小题满分12分）

如图，已知曲线C₁：y=x³(x≥0)与曲线C₂:y=－2x³+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C₁,C₂分别交于B，D.

（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);

（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.

22．（本小题满分14分）

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:

（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学参考答案（文史类 湖南卷）

1.D　2.D  3.C　4.A　5.C  6.B　7.D　8.D  9.A　10.C　11.B　12.A

13．2x－y+4=0　 14．84　 15．2　　16．

17．（本小题满分12分）

解：由

于是

18．（Ⅰ）证法一　因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，　在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²　 知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

因为

　　　　

所以　、、共面.

又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.

证法二  同证法一得PA⊥平面ABCD.

连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

连结OE，因为E是PD的中点，所以PB//OE.

又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.

（Ⅱ）解　作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又E是PD的中点，从而G是AD的中点，

所以　

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.

① ② ③

由题设条件有

　由①、③得　代入②得　27[P(C)]²－51P(C)+22=0.

解得　（舍去）.

将　　 分别代入 ③、②　可得　

即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是

（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，

则　

故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为

20．（Ⅰ）证明　由成等差数列，　得，

即 　 变形得　

所以（舍去）.

由　　

得　　 所以12S₃，S₆，S₁₂－S₆成等比数列.

（Ⅱ）解：

即　　①

①×得：

所以　　　　　

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.

即  

（Ⅱ）　令　 解得　

当从而在区间上是增函数；

当从而在区间上是减函数.

所以当　时，有最大值为

22．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得　　

　　 ①

设A、B两点的坐标分别是 、、x₂是方程①的两根.

所以　　 

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

得

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是（0，－m），从而.

　　　　　　　　

　　　　　　　 

所以　

（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.

由 　得

所以抛物线 在点A处切线的斜率为

设圆C的方程是

则

解之得

所以圆C的方程是　

即