2004年普通高等学校招生全国统一考试

 数 学（文史类）（重庆卷）

本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.

第Ⅰ部分（选择题　共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数的定义域是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　 ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．　 　　　B．　　 　C．　　  　D．

　

2．函数, 则 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1　　　 　　　　B．－1　　　　  　C．　　　 　　D．

3．圆的圆心到直线的距离为　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　　A．2　　　　　　　　　 B．　　　　　　　C．1　　　　 　　　 D．

4．不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

　　 A． 　　　　　　　　　　　　　　　B．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．　 　　　　　　　　　　　　　 D．

5． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　　A．　　  　　　　　B．　　　　  　 C．　　　 　　 D．

6．若向量的夹角为，,则向量的模为 （ 　　）

　　 A．2　　　　　　　　　B．4　　　　 　　　C．6　　　　　　　　 D．12

7．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。那么p是q成立的：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　 　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

8．不同直线和不同平面，给出下列命题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 其中假命题有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

　　 A．0个　　  　　　　 B．1个　　　　　　 C．2个　　  　　　　D．3个

9． 若是等差数列，首项，则使前n项和 成立的最大自然数n是　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．4005　　　 　　 B．4006　　　 　　 C．4007　　　 　　　　D．4008

10．已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　 ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．　　　 　　　 B．　　  　　　　 C．　　　　 　D．

11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．　　　　　　B．　　  　　　　C．　　　　  　　　D．

12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

　　A．258　　　　　　　　 B．234　　　　　　　 C．222　　　 　　　 D．210

第Ⅱ部分（非选择题 共90分）

题 号	二	三						总 分
		17	18	19	20	21	22
分 数

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．若在的展开式中的系数为，则

14．已知,则的最小值是____________

15．已知曲线，则过点的切线方程是______________

16．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里.

三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

　　求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间.

18．（本小题满分12分）

设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。

（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；

（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.

19．（本小题满分12分）

　　　 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

（1） 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

（2）若,求二面角E—AB—D平面角.

P

E

F

A

D

M

B

C

20．（本小题满分12分）

　　 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）

21．（本小题满分12分）

设直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）. 试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求a的值，使圆H的面积最小.

Y

y2=2px

B

H

X

Q(2p,0)

O

A

22．（本小题满分14分）

　　设

（1）令求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

数学（文史类）参考答案

一、选择题：每小题5分，共60分.

1．D　2．B　3．D　4．A　5．B　6．C　7．A　8．D　9．B　10．B　11．D　12．C

二、填空题：每小题4分，共16分.

13．－2　　　14．6　　　 15．　　16．4

三、解答题：共74分.

17．（本小题12分）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　故该函数的最小正周期是；最小值是－2；

　　　　　　　单增区间是

18．（本小题12分）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：（I）设A_K表示“第k人命中目标”，k=1，2，3.

　　　 这里，A₁，A₂，A₃独立，且P（A₁）=0.7，P（A₂）=0.6，P（A₃）=0.5.

　　　　　　 从而，至少有一人命中目标的概率为

　　　　　　

　　　 恰有两人命中目标的概率为

　　　

　　　　　　 答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44

　　　　　 （II）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　  答：他恰好命中两次的概率为0.441.

19．（本小题12分）

　 （I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB与PC的公垂线.

　 （II）解：因由（I）知AE⊥AB，又AD⊥AB，

故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角.

设AB=a，则PA=3a.

因Rt△ADE~Rt△PDA

故∠EAD=∠APD

因此.

20．（本小题12分）

　　　　　解：每月生产x吨时的利润为

　　　　　　　 

　　　　  ，故它就是最大值点，且最大值为：

　　　　　　　  答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

21．（本小题12分）

　 解法一：设，则其坐标满足

　　　消去x得　

　　　则　

　　　

　　　因此.

　　　故O必在圆H的圆周上.

　　　又由题意圆心H（）是AB的中点，故

　　　

　　　由前已证，OH应是圆H的半径，且.

　　　从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.

　　　解法二：

　　　设，则其坐标满足

　 分别消去x，y得

　　　故得A、B所在圆的方程

　　　明显地，O（0，0）满足上面方程

　　　故A、B、O三点均在上面方程的表示的圆上.

　　　又知A、B中点H的坐标为

　　　故

　　　而前面圆的方程可表示为

　　　故OH为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.

　　　又，

　　　故当a=0时，R²最小，从而圆的面积最小，

　　　解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上

　　　又直径AB=

　　　上式当时，等号成立，直径AB最小，从而圆面积最小.

　　　此时a=0.

22．（本小题14分）

　　　解：（I）因

　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 故{b_n}是公比为的等比数列，且

　　　　　

　　　 （II）由

　　　

　　　 注意到可得

　　　 记数列的前n项和为T_n，则