2004年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（浙江卷）(理工类)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
|
(1) 若U={1,2,3,4},
M={1,2},N={2,3}, 则 
（ ）
(A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4}
(2) 点P从(1,0)出发,沿单位圆
逆时针方向运动
弧长到达Q点,则Q的坐标为
（ ）
(A) 
(B)
(
(C) (
(D)
(
(3) 已知等差数列
的公差为2,若
成等比数列, 则
= （ ）
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
(4)曲线
关于直线x=2对称的曲线方程是 （ ）
(A) 
(B)
(C) 
(D)
(5) 设z=x—y ,式中变量x和y满足条件
则z的最小值为 （ ）
(A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3
(6) 已知复数
,且
是实数,则实数t= （ ）
(A) 
(B)
(C) --
(D) --
(7) 若
展开式中存在常数项,则n的值可以是 （ ）
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12
(8)在ΔABC中,“A>30º”是“sinA>
”的 （ ）
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(9)若椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ）
(A)
（B）
（C）
（D）
|
(A)
(B)
(C)
|
（11）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象最有可能
|
（12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程
有实数解，则
不可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上.
（13）已知
则不等式
≤5的解集是
.
（14）已知平面上三点A、B、C满足
则AB· BC+BC·CA+CA·AB的值等于 .
（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）.
（16）已知平面
和平面
交于直线
，P是空间一点，PA⊥，垂足为A，PB⊥，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到的距离为
.
三、 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分12分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为
、b、c，且
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，求bc的最大值.
（18）（本题满分12分）
盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为
.
（Ⅰ）求随机变量的分布列；
（Ⅱ）求随机变量的期望
.
（19）（本题满分12分）
|
，AF=1，M是线段EF的中点.
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.
（20）（本题满分12分）
设曲线
≥0）在点M（t,e--t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.
（Ⅰ）求切线的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值.
（21）（本题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且
，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当
时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.
|
（22）（本题满分14分）
如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),
（Ⅰ）求
及
;
（Ⅱ）证明
(Ⅲ)若记
证明
是等比数列.
2004年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（浙江卷）参考答案
一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.B 12.D
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.
13. 
14.
14 --25 15. 5 16. 
三.解答题:本大题共6小题,满分74分.
17. (本题满分12分)
解: (Ⅰ)
=
=
=
= 
(Ⅱ) ∵
∴
,
又∵
∴
当且仅当 b=c=
时,bc=
,故bc的最大值是.
(18) (满分12分)
解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量的取值是2、3、4、6、7、10.
随机变量的概率分布列如下
|
| 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 10 |
| P | 0.09 | 0.24 | 0.16 | 0.18 | 0.24 | 0.09 |
随机变量的数学期望
=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.
(19) (满分12分)
方法一
解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE.
∵
平面BDE， 
平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD， 
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF.
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.
在RtΔASB中，
∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º.
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，
，
∴PQ⊥平面ABF，
平面ABF，
∴PQ⊥QF.
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，
PF=2PQ.
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，
∴
又∵ΔPAF为直角三角形，
∴
，
∴
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点.
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（
、（0,0,1）,
∴NE=(
,
又点A、M的坐标分别是
（
）、（
∴ AM=（
∴NE=AM且NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵
平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDF.
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
∴AB⊥平面ADF.
∴
为平面DAF的法向量.
∵NE·DB=（·
=0，
∴NE·NF=（·
=0得
NE⊥DB，NE⊥NF，
∴NE为平面BDF的法向量.
∴cos<AB,NE>=
∴AB与NE的夹角是60º.
即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得
∴CD=（，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º.
∴
解得
或
（舍去），
即点P是AC的中点.
（20）（满分12分）
解：（Ⅰ）因为
所以切线的斜率为
故切线的方程为
即
.
（Ⅱ）令y=0得x=t+1,
又令x=0得
所以S（t）=
=
从而
∵当
（0，1）时，
>0,
当（1,+∞）时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=
(21) (满分12分)
解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程
|
因为点M到直线AP的距离为1,
∵
即
.
∵
∴
解得
+1≤m≤3或--1≤m≤1--.
∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为
由
得
.
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，
（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为
.
直线AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入
得，
所以所求双曲线方程为
即
（22）（满分14分）
解：(Ⅰ)因为
，
所以
，又由题意可知
|
=
=
∴为常数列.
∴
(Ⅱ)将等式
两边除以2，得
又∵
∴
（Ⅲ）∵
又∵
∴是公比为
的等比数列.