08届高考数学第二次诊断性考试试卷

数　 学

注意事项：

1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目、试卷类型等写在答题纸上，并贴好条形码。

　　2．每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3．主观题请在规定区域答题。请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．

1．设集合，，则与的关系是▲　　．

2．复数的虚部为　　 ▲　　　　．

3．如图，在中，，记，

则＝　　　　 ▲　　．（用与表示）

4．在数列中，已知，，则　　▲　　 ．

5．函数的单调减区间是___▲_____．

6．若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是　　▲　 ．

7．设，函数，则使的的取值范围是　 ▲　．　　　　　　　　　　　　　　

8．已知圆，圆与圆外切，且与直线切于点，则圆的方程为　　 ▲　　　　  ．

9．如图，水波的半径以的速度向外扩张，当半径为时，圆面积的膨胀率为　　  ▲　　　 ．

10．若函数的图像关于直线对称，

则此 ▲　．

11．如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为摩

天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上点的起始位置在

最低处．在摩天轮转动的一圈内，有　　　▲　　　

点距离地面超过．

12．已知圆上有个点到直线的距离都等于，

则  ▲　 ．

13．给出以下四个命题：

①已知命题；命题.则命题和都是真命题；

②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是；

③函数在定义域内有且只有一个零点；

④先将函数的图像向左平移个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的函数解析式为．

其中正确命题的序号为　　　　▲　　　　 ．（把你认为正确的命题序号都填上）

14．已知函数的定义域为，部分对应值如下表．为的导数，函数的图像如右图所示．

若两正实数满足，则的取值范围是　　 ▲　　　．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且经过点．

⑴求此椭圆的方程及其离心率；

⑵求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的方程．

16．（本小题满分14分）已知向量，向量是与向量夹角为的单位向量．

⑴求向量；

⑵若向量与向量共线，与向量垂直，求的最大值．

17．（本小题满分15分）设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足．其中．

⑴求数列和的通项公式；

⑵设，求证：数列的前项的和（）．

18．（本小题满分15分）在海岸处，发现北偏西的方向，距离 mile的处有一艘走私船，在处北偏东方向，距离 mile的处的缉私船奉命以 mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以 mile/h的速度从向北偏西方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

19．（本小题满分16分）已知函数和在处的切线平行．

⑴试求函数和的单调增区间；

⑵设，求证：．

20．（本小题满分16分）定义在正整数集上的函数对任意，都有

，且．

⑴求函数的表达式；

⑵若对于任意的、恒成立，求实数的取值范围；

⑶对任意正整数，在内总存在个实数，

使成立，求的最大值．

08届高考数学第二次诊断性考试试卷

数学附加题

1．（本小题满分8分）求曲线及直线所围封闭区域的面积．

2．（本小题满分10分）求直线（为参数）被曲线所截得的弦长．

3．（本小题满分10分）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．

（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；

（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．

4．（本小题满分12分）假定某射手每次射击命中的概率为，且只有发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为，求：

⑴目标被击中的概率；

⑵的概率分布；

⑶均值．

08届高考数学第二次诊断性考试试卷

高三数学参考答案

1．或  2．  3．　4． 5．　6．　7． 　8．  9．  10．

11．　12．或　13．①③④　14．

15．⑴由条件得

∴所求的椭圆的方程为，

其离心率；

⑵由条件得，双曲线的半焦距，实半轴长，所以，又因为此双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的方程为．

16．⑴设向量，则，

解之得：或，

或;

⑵∵向量与向量共线，∴，

又∵与向量垂直，

∴，即

∴

由，可得，

∴当时，取得最大值，最大值为．

17． ⑴由已知条件得，　 ①

当时，，  ②

①－②得：，即，

∵数列的各项均为正数，∴（），

又，∴；

∵，

∴，∴；

⑵∵，

∴，

，

两式相减得，

∴．

18． 由已知条件得，，，，

∴

　　，

在中，，解之得，

∴，∴为水平线，

设经过时间小时后，缉私船追上走私船，

则在中，，，，

，∴，

∴缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．

19．⑴∵，，

由条件得，即，解得，

令，解得，而，

∴函数的单调增区间为，

同理的单调增区间为；

⑵∵函数在上是增函数，且，

∴，

同理，

∴，

∵，∴，即．

20．⑴取，，

当时，

　　　　　　　  ，

又，∴；

⑵，

∴时，

由条件得在上恒成立，即，

若，则，

若，则，即，

若，则，即，

综上：；

⑶∵在上单调递增，

∴

∴只须对恒成立，

而，

∴即，又，

∴．

附加题答案：

1．解方程组，得或，

∴面积．

2．把化为普通方程为，

把化为直角坐标系中的方程为，

∴圆心到直线的距离为，

∴弦长为．

3．（1）由条件得矩阵，

它的特征值为和，对应的特征向量为及；

（2），

椭圆在的作用下的新曲线的方程为．

4． ⑴目标被击中的概率为；

⑵的分布列为

（）

⑶均值．