2008年高考立体几何整理

一、选择题

1、已知m,n是两条不同直线，α,β,Υ是三个不同平面.下列命题中正确的是

（A）若α⊥Υ，β∥Υ，则α∥β　　　(B)若m⊥α，n⊥α，则m∥n

（C）若m∥α，n∥α，则m∥n　　　 （D）若m∥α，m∥β，则a∥β

2、如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2,AA₁=1,则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

A.　　　　　　　　　B. 　　　 　　　　　C. 　　　　　　　 D.

3、用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为

　A.　　　　 B.　　　　  C.　　　　 D.

4、已知直线m、n和平面a、b满足m⊥n，a⊥b，则

A. n⊥b　　　　　　　　　　B. n∥b或nb　　 C. n⊥a　　　　　　 D. n∥a或na　　　　　　　　　

5、长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝，AA₁＝1，则顶点A、B间的球面距离是

A.　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　 D.

6、设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是

A.　　  在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直

B.　　  过直线m有且只有一个平面与平面α垂直

C.　　  与直线m垂直的直线不可能与平面α平行

D.　　 与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

7、已知三棱柱ABC－的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则A与底面ABC所成角的正弦值等于

(A)　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　 (C) 　　　　　　　　　　(D)

8、正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为

A. 3　　　 B. 6　　 　 C. 9　　　　D.18

9、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于

A.1　　　　 B.　　　　　 C. 　　　　　D. 2

10、设M是球O的半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为

（A）　　　　　 （B）　　　　 （C）　　　　　 （D）

11、设直线，过平面外一点A且与、都成30°角的直线有且只有

（A）1条 　　　　 （B）2条　　　 （C）3条　　　　  （D）4条

12、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为

（A）　　　　　 （B）　　　　（C）　　　　 （D）

13、设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（　　）

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

14、对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得

（A）　　 （B）　 （C） （D）

15、设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是

A.若m∥,n∥,则m∥n

B.若m,n,m∥,n∥,则∥

C.若，m,则m

D.若，m，m,则m∥　　　

16、已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为

A． 　　  B. 　　 C. 　　 D.

二、填空题

1、　如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，

DA=AB=BC=，则球O点体积等于

2、已知点A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.若AB=6,AC=2,AD=8,则B，C两点间的球面距离是　　　　.

3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　　　.

4、在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC=，A、C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为　　　　　 .

5、已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于　　　　　　.

6、若一个球的体积为，则它的表面积为　　　　  ．

三、解答题

1、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？

2、如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝,OA⊥底面ABCD，OA=2,M为OA的中点.

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.

3、如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AC；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；

（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.

4、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

5、如图，在直三棱柱中，平面侧面

　（Ⅰ）求证：

　（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角

6、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝.

(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.

7、四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，

BC＝2，CD＝，AB=AC.

(1)　  证明：AD⊥CE;

(2)　  设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小.

8、如图，正四棱柱ABCD-中，点E在上且

①证明：

①　　 求二面角的大小

9、如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BE∥AF，G、H分别是FA、FD的中点。

(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？

(Ⅲ)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.

10、如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

参考答案

一、选择题

1-5：BDDDB

6-10：BABBD

11-16：BBCBDC

二、填空题

1、　 2、　 3、　 4、　 5、　 6、

三、解答题

1、

2、　

3、解法一：

（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.

∵AC=BC.

∴CD⊥AB.

∵PD∩CD＝D.

∴AB⊥平面PCD.

∵PC平面PCD，

∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC，

∴PC⊥BC.

又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，

且AC∩PC=C，

∴AB＝BP，

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC内的射影，

∴CE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，

∴sin∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为aresin

解法二：

（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.

∵AC∩BC=C,

∴PC⊥平面ABC.

∵AB平面ABC，

∴PC⊥AB.

(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.

设P（0，0，t）,

∵｜PB｜=｜AB｜＝2，

∴t=2,P(0,0,2).

取AP中点E，连结BE，CE.

∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,

∴CE⊥AP,BE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

∵E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为arccos

4、解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=·2=.

又S△=

设点A到平面PCD的距离h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACD·OP＝S_△PCD·h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），

∞〈、〉=，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，

（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x₀,y₀,x₀），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

则　　n·＝0，所以　　-x₀+ x₀=0_,

n·＝0，　　　　-x₀+ y₀=0，
即x₀=y₀=x₀,　　　

取x₀=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d＝

5、(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

　 (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=j.

　　  于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,

　　　∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.

　　　又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋j＝∠AA₁B＋j＝，故θ＋j＝.

　　　证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,

,=(0,c,a)

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝（0，－a，c），于是

n·=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.

sinq=cosb=,

cosj=

所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.

6、解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，

是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以

又所以

　　　　　　  又因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此 平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以

又所以是二面角的平面角．

在中, ．

故二面角的大小为

解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.

从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知设是平面PBE的一个法向量,

则由得 所以

故可取而平面ABE的一个法向量是

于是,．

故二面角的大小为

7、解：（1）取中点，连接交于点，

，，

又面面，面，

．

，

，，即，

面，．

（2）在面内过点作的垂线，垂足为．

，，面，，

则即为所求二面角的平面角．

，，，

，则，

，即二面角的大小

8、

9、（Ⅰ）由题意知，

所以

又，故

所以四边形是平行四边形。

（Ⅱ）四点共面。理由如下：

由，是的中点知，，所以

由（Ⅰ）知，所以，故共面。又点在直线上

所以四点共面。

（Ⅲ）连结，由，及知是正方形

故。由题设知两两垂直，故平面，

因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，

又，所以平面

由（Ⅰ）知，所以平面。

由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面

解法二：

由平面平面，，得平面，以为坐标原点，

射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

（Ⅰ）设，则由题设得

　　

所以

于是

又点不在直线上

所以四边形是平行四边形。

（Ⅱ）四点共面。理由如下：

由题设知，所以

又，故四点共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此

即

又，所以平面

故由平面，得平面平面

10、