08高考文科试题分类数列

2014-5-11 0:13:28 下载本试卷

03 数列

一、选择题

1.(北京7).已知等差数列中,,若,则数列的前5项和等于( C  )

A.30      B.45       C.90      D.186

2.(广东4)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1=4,S4=20,则该数列的公差d= ( B )

A.7         B.6       C.3      D.2

3.(宁夏8)设等比数列的公比q=2,前n项和为Sn,则=( C )

A.     B.      C.     D.

4.(江西5)在数列中,,则 ( A )

A.   B.     C.   D.

5.(全国Ⅰ7)已知等比数列满足,则( A )

A.64      B.81      C.128     D.243

6.(福建3)设是等差数列,若,则数列前8项和为( C )

A.128     B.80      C.64      D.56

7.(上海14)若数列是首项为,公比为的无穷等比数列,且各项的和为a,则的值是( B )

A.1        B.2      C.     D.

8.(天津4) 若等差数列的前5项和,且,则( B  )

A.12      B.13      C.14      D.15

9.(浙江4)已知是等比数列,,则公比= ( D )

(A)    (B)    (C)2      (D)

10.(重庆1)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于 (  C )

(A)4       (B)5           (C)6           (D)7

11.(陕西4) 已知是等差数列,,则该数列前10项和等于( B )

A.64      B.100     C.110     D.120

二、填空题

1.(安徽15) 在数列在中,,其中为常数,则    1

2.(宁夏13)已知为等差数列,,则      .15

3.(江苏10)将全体正整数排成一个三角形数阵:

             1

             2 3

            4 5 6

            7 8 9 10

           。 。 。 。 。

按照以上排列的规律,第n行()从左向右的第3个数为      

4.(四川16)设数列中,

则通项 ___________。

三、解答题

1(安徽21)(本小题满分12分)

设数列满足其中为实数,且

(Ⅰ)求数列的通项公式

(Ⅱ)设,求数列的前项和

(Ⅲ)若对任意成立,证明

(1) 方法一

   

    时,是首项为,公比为的等比数列。

   ,即 。当时,仍满足上式。

   数列的通项公式为

方法二

由题设得:当时,

时,也满足上式。

数列的通项公式为

   (2)  由(1)得

     

 

(3)    由(1)知

,则

 

对任意成立,知。下面证,用反证法

方法一:假设,由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大

不能对恒成立,导致矛盾。

方法二:假设

 恒成立  (*)

为常数, (*)式对不能恒成立,导致矛盾,

2.(北京20)(本小题共13分)

数列满足),是常数.

(Ⅰ)当时,求的值;

(Ⅱ)数列是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;

(Ⅲ)求的取值范围,使得存在正整数,当时总有

解:(Ⅰ)由于,且

所以当时,得

从而

(Ⅱ)数列不可能为等差数列,证明如下:

若存在,使为等差数列,则,即

解得

于是

这与为等差数列矛盾.所以,对任意都不可能是等差数列.

(Ⅲ)记,根据题意可知,,即,这时总存在,满足:当时,;当时,

所以由可知,若为偶数,则,从而当时,;若为奇数,则,从而当

因此“存在,当时总有”的充分必要条件是:为偶数,

,则满足

的取值范围是

3.(福建20)(本小题满分12分)

已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点()(nN*)在函数y=x2+1的图象上.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bn    ·bn+2b2n+1.

解法一:

(Ⅰ)由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1,又a1=1,

所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.

an=1+(a-1)×1=n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n从而bn+1-bn=2n.

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+­­­­­­­­­­­···+(b2-b1)+b1

=2n-1+2n-2+···+2+1

=2n-1.

因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)

=-5·2n+4·2n

=-2n<0,

所以bn·bn+2<b,

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)因为b2=1,

bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b

       =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1

=2nbn+1-2n+1

=2nbn+2n-2n+1

=2nbn-2n

=…

=2nb1-2)

=-2n〈0,

所以bn-bn+2<b2n+1

4.(广东21)(本小题满分14分)

设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=(an-1+2an-2)(n=3,4,…),数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1bm+bm+1+…+bm+11.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2) 记cn=nanbn(n=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn.

解:(1)由得   

      又

     数列是首项为1公比为的等比数列,

     

    

      

  由    得   ,由   得   ,…

  同理可得当n为偶数时,;当n为奇数时,

当n为偶数时

 

当n为奇数时

 
   因此

当n为偶数时

 

当n为奇数时

 
 (2)

   

   当n为奇数时,

     

      

   当n为偶数时,

     

   ……①

①×得:   ……②

①-②得: 

           

当n为偶数时

 

当n为奇数时

 
因此

5.(江苏19)(16分)

(1)设是各项均不为零的等差数列(),且公差,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:

①当时,求的数值;②求的所有可能值;

(2)求证:对于一个给定的正整数,存在一个各项及公差都不为零的等差数列,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。

【解析】:本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

(1)①当n=4时, 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0。

   若删去,则,即化简得,得

若删去,则,即化简得,得

综上,得

②当n=5时, 中同样不可能删去,否则出现连续三项。

若删去,则,即化简得,因为,所以不能删去;

n≥6时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列中,由于不能删去首项或末项,若删去,则必有,这与矛盾;同样若删去也有,这与矛盾;若删去中任意一个,则必有,这与矛盾。(或者说:当n≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项)

综上所述,

(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列,其中)为任意三项成等比数列,则,即,化简得  (*)

知,同时为0或同时不为0

同时为0时,有与题设矛盾。

同时不为0,所以由(*)得

因为,且x、y、z为整数,所以上式右边为有理数,从而为有理数。

于是,对于任意的正整数,只要为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列。

例如n项数列1,,……,满足要求。

6.(江西19)等差数列的各项均为正数,,前项和为为等比数列, ,且

(1)求

(2)求和:

(1)设的公差为的公比为,则为正整数,

   

依题意有

解得(舍去)   

(2) 

  

    

7.(湖南20)数列满足

(I)求,并求数列的通项公式;

(II)设

求使的所有k的值,并说明理由。

解:(I)因为所以

    一般地, 当时,

    即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列,

    因此

时,

    所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此

    故数列的通项公式为

  (II)由(I)知,

    

于是.

下面证明: 当时,事实上, 当时,

所以当时,

故满足的所有k的值为3,4,5.

8.(辽宁20)(本小题满分12分)

在数列是各项均为正数的等比数列,设

(Ⅰ)数列是否为等比数列?证明你的结论;

(Ⅱ)设数列的前项和分别为.若,求数列的前项和.

解:(Ⅰ)是等比数列.·························································································· 2分

证明:设的公比为的公比为,则

,故为等比数列.··········································· 5分

(Ⅱ)数列分别是公差为的等差数列.

由条件得,即

.···················································································· 7分

故对,…,

于是

代入得.································································ 10分

从而有

所以数列的前项和为

.····················································································· 12分

9.(全国Ⅰ19)(本小题满分12分)

在数列中,

(Ⅰ)设.证明:数列是等差数列;

(Ⅱ)求数列的前项和

解:(1)

为等差数列,

(2)

两式相减,得

10.(全国Ⅱ18)(本小题满分12分)

等差数列中,成等比数列,求数列前20项的和

解:设数列的公差为,则

.····························································································· 3分

成等比数列得

整理得

解得.···································································································· 7分

时,.················································································· 9分

时,

于是.····················································· 12分

11.(山东20)(本小题满分12分)

将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

 

  

   

记表中的第一列数构成的数列为为数列的前项和,且满足

(Ⅰ)证明数列成等差数列,并求数列的通项公式;

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第行所有项的和.

(Ⅰ)证明:由已知,当时,

所以

所以

所以数列是首项为1,公差为的等差数列.

由上可知

所以当时,

因此

(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为,且

因为

所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项,

在表中第13行第三列,

因此

所以

记表中第行所有项的和为

12.(上海21)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.

已知数列是正整数),与数列

是正整数).

(1)若,求的值;

(2)求证:当是正整数时,

(3)已知,且存在正整数,使得在中有4项为100.求的值,并指出哪4项为100.

【解】(1)

                                       ………………..2分

       ∵                     ………………..4分

【证明】(2)用数学归纳法证明:当

①   当n=1时,等式成立….6分

②   假设n=k时等式成立,即

那么当时,

………8分

   

    等式也成立.

根据①和②可以断定:当…………………...10分

    【解】(3)

          

           ………………………..13分

           ∵ 4m+1是奇数,均为负数,

           ∴ 这些项均不可能取到100.      ………………………..15分

           此时,为100.    …………………………18分

13.(四川21)(本小题满分12分)

 设数列的前项和为

(Ⅰ)求

(Ⅱ)证明: 是等比数列;

(Ⅲ)求的通项公式

【解】:(Ⅰ)因为,所以

 

   ①

所以

  

(Ⅱ)由题设和①式知

  

      

      

所以是首项为2,公比为2的等比数列。

(Ⅲ)

    

14.(天津20)(本小题满分12分)

已知数列中,,且

(Ⅰ)设,证明是等比数列;

(Ⅱ)求数列的通项公式;

(Ⅲ)若的等差中项,求的值,并证明:对任意的的等差中项.

(Ⅰ)证明:由题设,得

,所以是首项为1,公比为的等比数列.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ),

……

将以上各式相加,得.所以当时,

上式对显然成立.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当时,显然不是的等差中项,故

可得,由

,   ①

整理得,解得(舍去).于是

另一方面,

由①可得

所以对任意的的等差中项.

15.(浙江18)(本题14分)已知数列的首项,通项为常数),且成等差数列,求:

(Ⅰ)的值;

(Ⅱ)数列的前项的和的公式。

(Ⅰ)解:由,得

,且,得

解得

(Ⅱ)解:

16.(重庆22)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分.(Ⅱ)小问6分)

   设各项均为正数的数列{an}满足.

   (Ⅰ)若a3,a4,并猜想a2008的值(不需证明);

(Ⅱ)若n≥2恒成立,求a2的值.

解:(I)因a1=2,a2=2-2,故

由此有a1=2(-2)0, a2=2(-2)4, a3=2(-2)2, a4=2(-2)3,

从而猜想an的通项为

,

所以a2xn=.

(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。

  设Sn表示x2的前n项和,则a1a2an=,由2a1a2an<4得

  Snx1+x2+…+xn<2(n≥2).

因上式对n=2成立,可得x1+x2,又由a1=2,得x1=1,故x2.

由于a1=2,(n∈N*),得(n∈N*),即

因此数列{xn+1+2xn}是首项为x2+2,公比为的等比数列,故

xn+1+2xn=(x2+2) (n∈N*).

将上式对n求和得

Sn+1x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2-)(n≥2).

Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且x1=1,故

(x2+2)(2-)<5(n≥2).

因此2x2-1n≥2).

下证x2,若淆,假设x2,则由上式知,不等式

2n-1

n≥2恒成立,但这是不可能的,因此x2.

x2,故z2=,所以a2=2=.

17.(湖北21).(本小题满分14分)

  已知数列,其中为实数,为正整数.

  (Ⅰ)证明:当

(Ⅱ)设为数列的前n项和,是否存在实数,使得对任意正整数n,都有

   若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.

(Ⅰ)证明:假设存在一个实数l,使{an}是等比数列,则有,即

2=2矛盾.

所以{an}不是等比数列.

(Ⅱ)证明:∵

         

                                  

由上式知

故当数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列.

(Ⅲ)当由(Ⅱ)得于是

   

     当时,,从而上式仍成立.

     要使对任意正整数n , 都有

      即

      令

      当n为正奇数时,n为正偶数时,

     

      于是可得

      综上所述,存在实数,使得对任意正整数,都有

      的取值范围为

18.(陕西20)(本小题满分12分)

已知数列的首项….

(Ⅰ)证明:数列是等比数列;

(Ⅱ)数列的前项和

解:(Ⅰ)

      ,又

      数列是以为首项,为公比的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即

,   ①

,②

由①②得

   

.又

数列的前项和