08届广东省高考数学六校第二次联考

理科数学试卷

命题学校：东莞中学　　

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知，则

A.　　 B.　　　　 C.　　　　D.

2. 已知为第二象限的角，且，则

A．　　　　 　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 　D．

3. 设，则下列不等式成立的是

A. 　　B. 　　　

C. 　　D.

4. 已知函数，其导数的图象如右图，

则函数的极小值是

A.　 　　B.　　　C.　　 　 D.

5. 在△中，若，则是

A.­直角三角形　　　　　　　　  B. 等腰直角三角形

C.钝角三角形　　　　　　　　　D. 等边三角形

6. 函数在（－2，0）上是单调递增的，则此函数在上是

　 A.单调递增　　　　B.单调递减　　 C.先增后减　　　D.先减后增

7. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文，，对应密文，，.例如,明文1，2，3对应密文7，14，6. 当 接收方收到密文16，30，14时，则解密得到的明文为

A.2，4，7　　　　　B.2，7，4　　  C.4，2，7　 　　D.7，4，2

8. 数列中，，则=

  A. 　　　　　B. 　　　C. 　　　 D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.

9. 已知命题，，则　　　　　　　　　　　  .

10. 已知，则　　　　　　　　  .

11. 数列中，，且数列是等差数列，则=___________．

12. 已知函数的一条对称轴方程为，则函数的位于对称轴左边的第一个对称中心为　　　　　　　  .

13. 给出下列四个命题：

①函数（且）与函数（且）的定义域相同；

②函数与的值域相同；

③函数与都是奇函数；

④函数与在区间上都是增函数，

其中正确命题的序号是　　　　　　 .（把你认为正确的命题序号都填上）

14. 对于函数，若有六个不同的单调区间，则的取值范围为　　　　　　　　　 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求的单调增区间；

（Ⅲ）若，求的值.

16. （本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，.

（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式.

17. （本小题满分14分）

设函数的定义域为，对任意实数、都有，当时且.　

(Ⅰ)  求证：函数为奇函数；

(Ⅱ) 证明函数在上是增函数；

 (Ⅲ) 在区间［－4，4］上，求的最值.

18. （本小题满分14分）

为庆祝东莞中学105周年，教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着球，以9米/秒的速度向正南方向走，看到学生乙正好在他的正南方21米处，此时学生乙以6米/秒的速度向南偏东方向走，学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他.问经过多少时间后，两位学生相距最近，并求出两位学生的最近距离.

19. （本小题满分14分）

设是函数的两个极值点，且.

　 （Ⅰ）求的取值范围；

　 （Ⅱ）求的最大值.

20. （本小题满分14分）

已知等差数列满足，等比数列前项和。

(Ⅰ) 求的值以及数列的通项公式；

(Ⅱ)试求的最大值以及最大时数列的通项公式；

(Ⅲ)若，求数列的前项和.

2008届六校第二次联考

理科数学参考答案

一、选择题

1. C  2. A　3. C　4. D　5.D　 6. B　 7. C　 8. B

二、填空题

9.，　 10.　 11.　　12.　　13. ①③　　14.（1，2）

三、解答题

15. 解：　　　　　　  1分

　　　　　　　　　　  2分

　　　　　　　　　　　　　　  ―――3分

（Ⅰ）的最小正周期为；　　　　　　　　　　―――6分

（Ⅱ）由 ， 　　　　　　　　7分

得， 　　　　　　　　 8分

　　 的单调增区间为　　　　　―――9分

（Ⅲ）因为，即　　　　　　　 　　　　 10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　  11分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――12分

16.解：(Ⅰ)∵

∴当时，则得　　　　1分

解得　　　　　　 ―――3分

　　　　 当时，则由　　　 4分

解得　　　　　　　　 ――6分

(Ⅱ)   当时，　　　 ―――7分

　　　　　　　　　　　　　　 ―――8分

，中各项不为零　　　　　　　　　　 ―――9分

　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――10分

是以为首项，为公比的数列　　　　　  ―――11分

　　　　　　　　　　　　　　  ―――12分

17. (Ⅰ) 证明：∵，

∴ 令，得　　　　　　　　  　―――1分

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ―――2分

令，得　　　　　　　　　　　 ―――3分

即　　　

∴函数为奇函数　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――4分

(Ⅱ) 证明：设，且　　　　　　　　　　　  ―――5分

则 　　　　　　―――6分

又∵当时　　 ∴　　　　　　　　　 ―――7分

　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ―――8分

　　∴函数在上是增函数　　　　　　　　　　　　　　 ―――9分

(Ⅲ) ∵函数在上是增函数

　　 ∴函数在区间［－4，4］上也是增函数　 　　　　　 ―――10分

∴函数的最大值为，最小值为　　　　　　  ―――11分

∵　　　 ∴　　　　　　　　  ―――12分

∵函数为奇函数　　 ∴　　　　　　　　　　　　　 ―――13分

故，函数的最大值为12，最小值为.　　　　　　 ―――14分

18. 解：设甲现在所在位置为A，乙现在所在位置为B，运动t秒后分别到达位置C、D,如图可知CD即为甲乙的距离.　 ――1分

当时,　 ――2分

　　　　  ――3分

　　　　　　  ――5分

时，　　　　　　　 ――7分

当时,C、B重合, 　　 ――9分

当时,

　　　　　 ――10分

 

　　　　　　  ――12分　　

　　　　　　　　　　　　　　　 ――13分

综上所述：经过2秒后两人距离最近为.　 ――14分

19. 解证：（I）易得　　　　　　　　　　  ―――1分

的两个极值点

的两个实根，又

　　　　　　　　　　　　　　　 ―――3分

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――5分

∵

　　　　　　　　 ―――6分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ―――8分

（Ⅱ）设则

　　　　　　　　　　　　　  ―――10分

由　　　　　　  ―――11分

上单调递减　　　　　　 ―――12分

　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――13分

∴的最大值是 　　　　　　　　　　　　　　　 ―――14分

20.解：(Ⅰ)当时，， ，―――1分

数列为等比数列，，故　　　　　 ―――2分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ―――3分

(Ⅱ)设数列公差，

根据题意有：，　　　　　　 ―――4分

即：

，，代入上式有：　　 ―――5分

,　　　　 ―――7分

即关于不等式有解

　　　　　　　　　　　　　　 ―――8分

　

当时，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――9分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ―――10分

(Ⅲ)，记前n项和为　　　　  ―――11分

　 　 ―――12分

―――13分

　　　　　　　　　　　　　　  ―――14分