专题考案(2)数列板块 测试

第Ⅰ卷　(选择题　共60分)

一、选择题(12×5′＝60′)

1.{}为等差数列，为其前n项和，<,=>,则下列错误的是　　（　　）

A.d<0 　　　　 B.=0　　　　  C.>　　　 D.和均为的最大值

2.设α、β是方程的两根，且α、α+β、β成等比数列,则k的值为　　(　　)

A.2　　  　 B.4　　　　 C.±4　　　　  D.±2

3.在等比数列{}中，(a≠0)，，则等于　　(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　  D.

4.已知{}是递增数列，且对任意n∈N*，都有恒成立， 则实数γ的取值范围是(　　)

A.γ>0　　　　B.γ<0　　　  C.γ＝０　　　　D.γ>-3

5.在直角坐标系中，O为坐标原点，(,)，（，）是第一象限的两个点，若1，，，4依次成等差数列，而1，,，8依次成等比数列，则的面积是　　(　　)

A.1　　　　  B.2 　　　　C.3　　　　  D.4

6.在等差数列{}中，若＝18，=240,-4＝30，则n的值为　　(　　)

A.14　　　　 B.15　　　　 C.16　　　　  D.17

7.一个等比数列的前n项之和是，那么它的前n项的各项平方之和为　　(　　)

A.　　　 B.　　　 C.　　　　D.

8.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是　(　　)

A.4，＋∞)　　　　　　　　  B.(-∞,0∪4，＋∞)

C.0,4）　　　　　　　　　　  D.(－∞,-4)∪4,＋∞)

9.首项为31，公差为-6的等差数列{}中，前n项和为,则数列{}中与零最近的项是(　　)

A.第9项　　　　 B.第10项　　　　 C.第11项　　　　  D.第12项

10.等差数列{}中,,(p≠q),则的值是　　(　　)

A.大于4　　　　 B.小于4　　　　  C.等于4　　　　  D.不能确定

11.等差数列｛｝的首项，前n项的和为，若(m、k∈N*且m≠k)，则取最大值是　　(　　)

A.　　  n=　　　　

B.n=　　　　

C.当m+k为偶数时，n=；当m+k为奇数时，n=

D.当m+k为偶数时，n=；当m+k为奇数时，n=

12.数列｛｝中任何相邻两项x、y满足(x,y≠0)，那么此数列是　(　　)

A.等差数列　　　　B.等差或等比数列　　　　C.等比数列　　　 D.以上答案都不对

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

二、填空题(4×4′＝16′)

13.无穷数列{}同时满足条件：

①对任意自然数n∈N*,都有-2<<4;

②当n为正偶数时，<,且>;

③当n>3时，>0.

请写出一个满足条件的{}的通项公式　　　　 .

14.三角形的三边长构成等比数列，那么公比q的取值范围是　　　　 .

15.在公差为d的等差数列{}中有“,,…,+…+,…(m、k∈N*)构成公差为的等差数列”,像这样在公比为q的等比数列{}中有　　　　　　  .

16.一个等比数列｛｝，，前11项的几何平均数是32，若从前11项抽出一项后的几何平均数是16，则抽出的是第　　　　　　 项.

三、解答题(5×12′+14′＝74′)

17.已知f (x)是定义域在自然数集上的函数，当x为奇数时，有f (x+1)-f (x)=1，当x为偶数时，有f (x+1)-f (x)=3,且f (1)+f (2)=5.

(1)求证：f (1)，f (3)，…，f (2n-1)(n∈N*)成等差数列；

(2)求f (n)的解析式.

18.数列{}中，=8,=2,且满足(n∈N*).

(1)求数列{}的通项公式;

(2)设=++…+，求;

(3)设=(n∈N*),(n∈N*),是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*,均有成立？若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.

19.数列{}满足=1,当n∈N*,且n≥2时，.

(1)当n≥2时，求证：;

(2)比较（1+）(1+)(1+)…(1+)与4的大小关系.

20.某人2000年元月存款t元，按年利息为p的复利计息.计划从2001年开始，每年元月1号到银行提取确定的金额供子女上学使用，恰好在n年后取完.求该人每年提取的金额.

21.对负整数a,数、6a+6、10a+3可构成等差数列.

(1)求a值;

(2)若数列{}满足(n∈N*),首项为.

①令,求{}的通项公式;

②若对任意n∈N*有,求的取值范围.

22.已知数列{}的通项公式是=(n=1,2,…),是否存在非零常数p和q,使数列{}成等差数列?若存在，求出p和q满足的关系式；若不存在，说明理由.

参考答案

1.C　∵,∴,

∵,∴,,

又,∴,有d<0,,

故A、B正确，对C，,

∴,对数列{},>…

故D项正确.

2.D　∵α+β=2,αβ=,又αβ=,∴,∴k=±2,故选D.

3.A　依题意，数列:，，，…，，…为等比数列，

公比q=，为该数列的第10项，

故＝a·，A正确.

4.D　依题意，恒成立，.

则2n+1+γ>0γ>-(2n+1)恒成立，-(2n+1)≤-3，故满足条件的γ的取值范围是γ>-3.

5.A　不难求出，=3，=2，=4，

第5题图解

则(2，2)，(3，4)，如图所示，所在直线

方程为4x-3y=0，于是，△的边上的高

h=，又=5，故＝×5×=1.

6.B　，

故n=15.

7.D　设该等比数列的前n项和为，则，故,

故，则

8.B　依题意，，，则.

又≥2xy，若xy>0，则≥2xy，于是≥，

故≥4，当且仅当x=y时取“=”号；若xy<0，

则≥-2xy，于是≤，

故≤0，当且仅当x=-y时取“=”号.综上所述，

的取值范围是(-∞，0∪4，+∞).

9.C　,∴=31n-3n(n-1).

令31n-3n(n-1)=0,得n=11.333.又∵n为整数，取n=11或12,

当n=11时，=11,当n=12时，=-24.∴前11项的和距0最近.

点评　本题是考查等差数列的前n项和公式，注意n是整数，于是要考虑较近的整数.

10.A　∵=>4,故选A.

11.D　方法1　由

(m≠k)，

由，知d<0.

　　　　　　　　　　  =.

第11题图解

故当m+k为偶数时，n=时，取最大值；

当m+k为奇数时，n=时，取最大值.

方法2　依题意，d<0，如图所示，(n,)表示抛物线上的

一些离散点，此抛物线的对称轴方程x=,则当m+k

为偶数时，n=时取最大值；m+k为奇数时，

n=时取最大值.

12.D　x=2y或x-y=1，不妨取，，=…=0.

n为奇数 n为偶数

13.　　　　　　 ; ;…

点评　本题是一道开放性试题，答案是不惟一的.解本题要根据题设:∈(-2,4),而是n的一个函数式，即说明函数的值域为(-2,4).于是我们就想到了三角函数（正弦函数或余弦函数等等）.再由，且(n为正偶数)，说明偶数项比奇数项大，联想到波动函数.由条件③知随n增大，>0,这可能与有关.于是就构造出给出的几个表达式.

14.(，)　依题意，设该三角形的三边长分别为a、aq、，当q≥1时，a+aq>1+q>1≤q<；当0<q<1时，+aq>a+q>1<q<1.综上可知，q∈(，).

15.…,…,…,…,…构成公比为的等比数列.

16.11　设抽出的是第k项，依题意，

，于是有.

由，即q＝.

2k-7=15　k=11.

17.解　(1)当x为奇数时，x+1为偶数，代入已知等式有

f (x+1)-f (x)=1　　　 ①　　　　  f (x+2)-f (x+1)=3.　　　　　 ②

①+②得:f (x+2)-f (x)=4为常数.又

∴f (1),f (3),f (5)，…，f (2n-1)构成以首项为2、公差为4的等差数列.

(2)由②知:当n为奇数时，f (n+2)-f (n)=4，f (1)=2，

∴当n=2k-1时，f (n)=f (2k-1)＝2+(k-1)×4＝2n.

当n为偶数时，n+1为奇数，f (n+1)-f (n)=3，f (n+2)-f (n+1)=1f (n+2)-f (n)=4，

∴f (2),f (4),f (6)，…,f (2n)构成首项为3、公差为4的等差数列.

∴当n=2k时，f (n)=f (2k)=3+(k-1)×4＝2n-1.

(n为正奇数) (n为正偶数)

综上所述:f (n)=

18.解　(1)由知，数列{}为等差数列，设其公差为d,则d=,

故.

(2)由≥0,解得n≤5.故

当n≤5时，=++…+=++…+=;

当n>5时，=++…+=++…+-…-=.

(3)由于=,

所以,

从而>0.

故数列是单调递增的数列，又因是数列中的最小项，要使恒成立，则只需成立即可，由此解得m<8,由于m∈Z,故适合条件的m的最大值为7.

19.(1)证明　当n≥2时,有,

则可得,

∴.

(2)当n=1,2时，易知1+=2<4,(1+)(1+)=2×<4.

由（1）知，当n≥2时，有,化为;

当n≥3时，(1+)(1+)(1+)…(1+)=

==2···…·(1+)

==.

∵ (n≥2),

∴(1+)(1+)(1+)…(1+)<［1+(1-)+(-)+…+(-)］

=(2-)=4+-<4+-<4+--=4-<4.

∴当nN*，有(1+)(1+)(1+)…(1+)<4.

20.解　设该人每年取款x元，则

,

…

由此可归纳出

.

此时只需令=0，便得x=.

答:此人每年的取款金额是.

21.解　(1)∵,∴,a=-2或a=3而a<0,且a∈Z,∴a=-2.

(2)①,

∴,,

∴.

②,即

(n∈N*)

而,∴4(2n+1+)>2n-1+,>-2n-,n∈N*,

∴>-2-=-.

22.解　假设存在非零常数p和q，使数列{}成等差数列,令=,即=,

数列{}的公差为d,则=+(n-1)d=dn+(-d).由=dn+(-d),整理得

.

此式对任意n∈N*都成立.故dp=2,dq+p(-d)=-1,q(-d)=0.

由于q≠0,故-d=0,∴dp=2,dq=-1,得p=-2q.

故存在非零常数p和q，满足p=-2q时，{}为等差数列.