08乌鲁木齐高考数学第二次诊断性测验试卷
理科数学
（理科：必修+选修Ⅱ）
注意事项：
1．本卷分为问卷（共4页）和答卷（共4页），答案务必书写在答卷的指定位置处．
2．答卷前先将密封线内的项目填写清楚．
3．第Ⅰ卷（选择题，共12小题，共60分），在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．如果选用答题卡，每小题选出答案后，用
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；如果未选用答题卡请将所选项前的字母代号填写在答卷上．不要答在问卷上．
4. 第Ⅱ卷（非选择题，共10小题，共90分），用钢笔或圆珠笔直接答在问卷中．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.若复数
,则
A． 
B．
C．
D．
2．设两个不相等的非空集合
，
，那么“
”是“
”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在公差为
的等差数列
中,
成等比数列,则
A．
B．
C．
D．
4. 实数
满足约束条件
的最小值是
A． 
B． 
C． 
D．
5.
若函数
满足
，则
A．
B．
C．
D．
6．从正方体的八个顶点中任取四个点，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是
A．
B．
C．
D．
7．函数的导函数为
，则
的单调增区间是
A．
B．
C．
D．
8．设
的反函数为
，若
，则必有
A．
B．
C．
D．
9．一束光线从点
发出并经
轴反射，到达圆
上一点的最短路程是
A．
B．
C．
D． 
10．与直线
垂直的抛物线
的切线方程是
A．
B．
C．
D．
11．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
12．三个半径为
的球互相外切，且每个球都同时与另两个半径为
的球外切．如果这两个半径为的球也互相外切，则与的关系是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接填在答卷的相应各题的横线上.
13．若向量
、
满足
，
且
，则与的夹角的度数为 ．
14．已知△
的面积等于
最大边
，
，则
．
15．某校要求每位学生从门课程中选修门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同的选课方案有
种（以数字作答）．
16.已知
的展开式中的常数项为
，则非零实数
的值是 ．
三、解答题（共6小题，共70分）解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）
已知
，其中
，求
的值．
18.（本题满分12分）
如图直三棱柱
的底面是等腰直角三角形，
，且二面角
的度数为
°
（1）求
的长；
（2）求证
平面
.
19.（本题满分12分）
函数
，
、
是其图象上任意不同的两点．
（1）求直线
的斜率的取值范围；
（2）求函数图象上一点到直线
、 直线
距离之积的最大值．
20．（本题满分12分）
将数字
分别写在大小、形状都相同的张卡片上，将它们反扣后（数字向下），再从左到右随机的依次摆放，然后从左到右依次翻卡片：若第一次就翻出数字则停止翻卡片；否则就继续翻，若将翻出的卡片上的数字依次相加所得的和是的倍数则停止翻卡片；否则将卡片依次翻完也停止翻卡片．设翻卡片停止时所翻的次数为随机变量
，求出的分布列和它的数学期望．
21.（本题满分12分）
已知抛物线
的焦点为
，过作两条互相垂直的弦
、
，设、 的中点分别为、．
（1）求证直线
恒过定点；
（2）求
的最小值．
22．（本题满分12分）
已知数列
的前
项之积与第项的和等于1
．
（1）求证
是等差数列，并求的通项公式；
（2）设
，求证
．
08乌鲁木齐高考数学第二次诊断性测验试卷
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 选 项 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1．选B．∵
∴
，故．
2．选B．根据题意有
．
3．选A．根据题意，有
，解得
．
4．选A．
在A(1,-1)处目标函数达到最小值1.
5．选D．
．
6．选A．两条棱所在直线异面时所成角的度数是；面对角线与棱异面时所成角的度数是或；两条面对角线异面时所成角的度数是或；体对角线与棱所在直线异面时所成角的度数是
；体对角线与面对角线异面时所成角的度数是．
7．选C．当
，即
时，单调递增.
8．选B．
，其图像上的点
在一，三象限或与原点重合．∴
9．选A．原问题可转化为：点关于轴的对称点
到达圆
的最短路程，画图可知其值为
．
10．选B．易知与直线垂直的直线方程的斜率是，设切点为
，
则在此处的切线斜率是
，故
，∴
∴所求切线方程是
．
11．选C．不妨设椭圆的方程为
，由题意得椭圆上的点坐标为
，代入椭圆方程可得
，即
，∴
，∴
，∴
．
12．选D．设
分别是半径为的三个球的球心，
分别是半径为的两个球的球心，则它们构成立体图形（如图），
是△
的中心．因为△是边长为
的正三角形，
所以，
．又
是以
为直角的直角三角形，
故
，即
，解得．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．
14． 15．
16．
13．由，得
，即
，又故
，
∴ 
∴与的夹角的度数为．
14．
，即
，
∵是最大边，∴
是最大角，故
不可能是钝角，∴
， ∴
．
15．从门课程中选修门，有
种方案；甲、乙两门课程都没选有
种方案，故不同的选课方案有
种．
16．
,令
得
,所以常数项为
，解得
.
三、解答题（共6小题，共70分）
17.
，即
又， ∴
，于是，
即
∴=
=
． …10分
18.解法一：
（1）由题意知
°，即
，又
平面，∴
于是
就是二面角的平面角且
°
在
中，
°，
，∴
…6分
（2）由（1）知
是正方形，
，又是直棱柱且
∴
平面，于是
，故平面.
…12分
解法二：
(1) 
由题意知°，又是直棱柱
设
，如图建立直角坐标系易知
于是
， 
，
，
易知平面的一个法向量为，
设平面
的法向量为
由
，得 
，取
所以
，则
由于二面角等于°∴
，
得
∴
…6分
（2）由（1）得
，
，易知
，故
，故
∴平面.
…12分
19．设、两点坐标分别为
，
，则
，
于是，
=
=
∵
且
， ∴
.
故直线斜率的取值范围是
.
…5分
（2）设点
,其中
，则到直线的距离
到直线的距离
则
=
=
，当
时，
，
递增
当
时，
，递减；
∴当
时，
有最大值
．
…12分
20．
由题意知
=，表示仅翻了张卡片，则翻出的一定是写有的卡片，∴
；
=，表示依次翻了张卡片，若用有序数组
表示这个事件所包含的结果，其中，
分别表示第一次、第二次翻出的卡片上的数字， 
且
是的整数倍，此时共有以下四种情形
、
、
、
，
试验所包含的结果总数为
∴
；
=，表示依次翻了次卡片， 同理用有序数组
表示这个事件所包含的结果，其中，且不是的整数倍，只有
是的整数倍．此时共有以下四种情形
、
、
、
，
试验所包含的结果总数为
∴
；
=，表示依次翻了次卡片， 用有序数组
表示这个事件所包含的结果，其中，且、都不是的整数倍，此时共有以下六种情形
、
、
、
、
、
，
试验所包含的结果总数为
∴
．
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∴的分布列为
…12分
21．（1）由题意可知直线、的斜率都存在且不等于零，
．
设
，代入
，得
∴
，
，故
．
因为
，所以，将点坐标中的
换为
，得
① 当
时，则
，
即
此时直线恒过定点
；
②
当
时，的方程为
，也过
点．
故不论为何值，直线恒过定点．
…7分
（2）由（1）知，，
∴
当且仅当
，即时，上式取等号，此时的最小值是． …12分
22．
（1）
，易知
则
…① ，
…②
两式相除得
，即
，
∴
．
∴是以
为首项，为公差的等差数列，在已知中令
可得
∴
，∴
…6分
（2）由
（
）
所以
（）
又因为
，
∴
综上 
成立．
…12分
以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．