【参数方程和普通方程的互化】

例1 求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点．

　  解：把代入

　  得：两式平方相加可得

　  ∴ （舍去）

　  于是即所求二曲线的交点是（，－）．

　  说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解．

例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且）

解法一：因，，故

∴

设。取为参数，则得所求参数方程

　　解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数．

过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有

∴

即为所求的参数方程。

　  说明：①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”．

　  ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便．

③如果取为参数，则得直线参数方程

　  一般地，直线的参数方程的一般形式是

　   （，为参数）

但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义．

例3 求椭圆的参数方程．

　  分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设

解法一：设（为参数），则

∴

　  故

　  因此，所得参数方程是

　 （Ⅰ）或　（Ⅱ）

　  由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（，），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点．

显然．椭圆的参数方程是

分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义．

解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）．

　  由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆的离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由可知也是半径OB的转角）．

　  例4  用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。

分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。

解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上任一点，过P作轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，，则：

又中，

∴

∴此圆的参数方程为

例5　设（为参数）把普通方程化为以为参数的参数方程。

解：把代入原方程，得，

解得　

∴参数方程为　（为参数）

∵与表示的是同一曲线，所以它们是等价的，可以省略一个。

∴所求参数方程

例6　化双曲线为参数方程。

解：设，代入为，得

∴的参数方程为（为参数，）

这是同学中较为常见的解法，这种解法是错误的，那么错在哪里呢？请你找出来。

错误在于，双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数，错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅，故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分，不符合普通方程与参数方程的等价性要求，普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数，注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。

下面给出正确解法：设，代入得。

∴的参数方程为：（为参数，）

例7 化参数方程

（为参数）为普通方程。

分析一：用代入消元法，从已知方程中解出参数，代入后消去参数。

解法一：∵

∴　即

将它代入（1），并化简得

（）

分析二：用整体消参法。注意表达式的分母相同，而分子的平方和恰为原来相同的分母。

解法二：得

又∵　 ∴

于是得所求普通方程为

即

分析三：因为，所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三角变换，然后利用三角公式再消参。

解法三：∵，

∴ 可令（，）

又∵

于是得

得　

即

∵，（）

∴（）

即，∴

∴普通方程是（）

说明：解法一是用代入法消参，解法二是整体消参法，解法三是运用万能公式，三角变换消参，三种解法中都应注意的限制条件，使参数方程化为普通方程时保持等价性。

例8将下列参数方程（其中，为参数）化为普通方程。

（1）　　（2）　 （3）

解：（1）∵

∴ （）为所求。

（2）由，得（）

将它代入，并化简得（）

另解：∵

并整理得

（）

（3）∵

且

∴所求普通方程为

说明：（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参，（2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参，（3）小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。

例9　对于方程（a，b为常数）

（1）当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线；

（2）当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线

解：（1）当t为常数，原方程可变形为

　　两式平方相加得

即

这是以（a，b）为圆心，为半径的圆。

（2）当为常数时，

由第一式得代入第二式得

即

这是过点（a，b），斜率为的一条直线

小结：同一参数方程，由于参数不同，所表示的曲线也不同，消去参数化为普通方程后，曲线的类型也就显现出来。

例10 已知直线过点P（2，0），斜率为。直线和抛物线相交于A、B两点，线段AB的中点为M。求：

（1）线段PM的长；

（2）M点的坐标；

（3）线段AB的长

解：如图。

（1）由直线过点P（2，0），斜率为。设其倾斜角为，则有

可得直线的标准参数方程为：

（其中为参数）

设直线上两点A、B分别对应参数、，

由方程组：

消去可得：

有 ，

由M为AB的中点，

∴

（2）设M点对应参数为，则有

∴ M点坐标为：

∴M点坐标为（，）

（3）由

分别代入，

可得

点拨：利用直线的标准参数方程中参数的几何含义，在解决诸如直线上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时，显得很方便和简捷。

例11 已知椭圆上的一个点P（），求的最值。

解：设椭圆的参数方程为：

（为参数，）

∴

　　

　　，（其中）

∵

∴

即的最大值是，最小值是－。

　  点拨：这个题虽然很简单，但它说明了一个道理：曲线的参数方程不仅表示了曲线，同时也表示了曲线上的点的坐标．当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时，实际上起到了消元的作用，即用一个参数表示了　　、，因此，在求某些几何量的最值时，参数方程可以起到一元化即消元的作用．

例12 过点M（2，1）作曲线（为参数）的弦AB，若M为AB的三等分点，求AB直线方程。

解：设AB的方程为（t为参数），将x，y代入曲线（为参数）即，

整理、化简得，

　　　　　 ①

　　　　　　 ②

∵点M在AB的内部　　　　∴

∴。

将①、②代入上式有。

解得，

则AB的方程为

小结：本题是首先设出过定点的参数方程，然后和椭圆方程联立，再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义，求得斜率，用点斜式写出直线方程。

例13 　圆O内一定点A，过A任作两互相垂直的弦，求证这两弦长的平方和为定值。

证明：以圆心O为原点，OA所在的直线为x轴建立直角坐标系，

设圆的方程，过定点互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为即

分别代入圆方程，得，其二根为、，

，其二根为、，故有

∴两弦平方和为定值

小结：涉及圆的弦长问题，可利用直线参数方程来解。

例14 已知是抛物线的一动弦，O为原点。当恒为直角时，如图求弦的中点P的轨迹方程。

分析 点P是的中点，点P的坐标与，的坐标，，、相关，如果选取，，、作为参数，则要列出，，，、有关的五个方程，最后消去参数，，、就可以得到P点的轨迹方程。

解 设P（），（，），（，）

∵P是的中点

∴①

　②

∵，在抛物上

∴③

④

又∵恒为直角，即

∴⑤

由③×④：

∴

由③＋④：

∴

把①、②式代入得：

∴ P点的轨迹方程是

　  说明　此题的解法是利用参数求点的轨迹方程，参数的个数可以是一个，也可以是几个，所列出的参数与点的坐标之间的方程的个数要比参数个数多一个，最后消去参数，得出轨迹方程．解决这类问题的关键是如何选取参数．此题还有一种选取参数的方法．

设直线的斜率为，根据

则的方程是，

的方程是。

由解得

由解得

设，根据P是的中点

∴（1）

（2）

由

把（1）代入：

∴P点的轨迹方程是：