08高考理科数学2月模拟考试试题

数学理科

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共55分）

一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分）

1．复数=

A．－i　　　　　　　　　　　 B．I　　　　　　　　　　　　 C．2－i　　　 　　　 D．－2+i

2．函数的y=（x≤－1）反函数是

A．y=－（x≥0）　 　　　　　　　　　　　　　B．y=（x≥0）

C．y=－（x≥）　　　　　　　　　　　　　D．y=（x≥）

3．若函数f （x）=e ^xcosx，则此函数图象在点（1, f （1））处的切线的倾斜角为

A．0　　 　　　　　　　　　 B．锐角　　　　　　 　　　 C．　　　　　　　　　　D．钝角

4．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成的角的余弦值为

A．　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．

C． 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

5．曲线y=2sin和直线在y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，…，则P₂P₄等于

A．　　　　 　　　　　　　B．2　　　 　　　　　　C．3 　　　　　　　　　 D．4

6．已知α、β是平面，m、n是直线，则下命题不正确的是

A．若m∥n , m⊥α, 则n⊥α　　 　　 　　　　　　 B．若,m⊥α,　m⊥β, 则α∥β

C．若m⊥α, m∥n, nβ, 则α⊥β　　 　　 　　 D．若m∥α,　α ∩β=n则m∥n

7．设函数f （x）是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f （2）>１，f （2008）=，则a的取值范围是

A．（－∞, 0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．（0, 3）

C．（0, +∞） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．（－∞, 0）∪（3, +∞）

8．设f （x）= x²－6x+5，若实数x、y满足条件f （y）≤ f （x）≤0，则的最大值为

A．9－4　　  　　　B．1　　　 　　　　 　　　 C．3　　　 　　　　　　　D．5

9．已知点A, F分别是椭圆（a>b>0）的右顶点和左焦点，点B为椭圆短轴的一个端点，若=0，则椭圆的离心率e为

A．（－1） 　　　B．（－1）　 　　C． 　　　　　　　 　　　D．

10．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是

A．　　　　　　　　 　　　 B．　　　　　　　　 　　　 C．　　　　　　　　 　　　D．

11．已知集合P={x5x－a≤0}， Q={x6x－b>0}，a,　b∈N,　且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对（a, b）的个数为

A．20　　　　　　　　　　　 B．30　　　　　　　　　　　 C．42　　　　　　　　　　D．56

第Ⅱ卷（非选择题, 共95分）

二、填空题（每小题4分，共16分）

12．的展开式中的常数项等于　　　　　　　　　  ；

13．已知=1，=，·=0, 点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（ m, n∈R）, 则m/n等于　　　　　　  ;

14．编辑一个运行程序：1﹡1=x，，m﹡（n+1）=k+2，欲得到1﹡2007=2008的输出结果，则x的值为　　　　　　　　　  ；

15．已知函数f （x）=－log₂x正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f （a） f （b）f （c）<0,若实数d是方程f （x）=0的一个解，那么下列四个判断：

① d<a;  ②d>b;　③d<c;　④d>c中有可能成立的为　　　　　　　　　　　 （填序号）．

三、解答题（本大题共6小题，共79分）

16．（本小题满分12分）

设函数f （x）=2cosx （cosx+sinx）－1,x∈R

（1）求f （x）的最小正周期T；

（2）求f （x）的单调递增区间．

17．（本小题满分13分）

某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．求：

（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．

18．（本小题满分14分）

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．

（1）求此正三棱柱的侧棱长；

（2）求二面角A-BD-C的大小；

（3）求点C到平面ABD的距离．

19．（本小题满分14分）

已知数列{a_n}中，a_n=2－（ n≥2，n∈N₊）

（1）若a₁=，数列{b_n}满足b_n=（ n∈N₊），求证数列{b_n}是等差数列；

（2）若a₁=，求数列{a_n}中的最大项与最小项，并说明理由．

（3）若1<a₁<2, 试证：1<a_n+1< a_n<2

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x²的焦点，离心率等于．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ₁，=λ₂，求证λ₁+λ₂为定值．

21．（本小题满分14分）

已知函数f （x）=ln（2+3x）－x² ．

（1）求f （x）在[0, 1]上的极值；

（2）若对任意x∈[，]，不等式a－lnx－ln[ f ’（x）+3x]>0成立，求实数a的取值范围；

（3）若关于x的方程f （x）= －2x+b在[0, 1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

参考答案

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．

1．B 　　 2．A　　 3．D　　 4．C　　 5．A　　 6．D　　 7．B　　 8．D　　 9．A　　 10．C

11．B

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

12．-32；　13．3；　14．-2004；　15．①②③

三、解答题：本大题共6小题，共79分．

16．_{………… 6分}

（1） ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………… 9分

（2）由2kp – £ 2x +  £ 2kp + , 得：kp – £ x £ kp +  （k ÎZ）,

f （ x ） 单调递增区间是[kp – ，kp +]（k ÎZ）．　 ……………… 12分

17．（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，

则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。…………………………2分

，，。

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

	1	2	3

……………………………4分

。……………………………………………………5分

∵，

同理：，，。

∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：

	0	1	2	3

………………………8分

。…………………………………9分

（2）∵，

。

（或）。∴。

∵，，

∴。

从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。…………………………………………………………………………………………13分

说明：只根据数学期望与方差得出结论，也给4分。

18．（1）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．

是正三角形，．

又底面侧面，且交线为．

侧面．

连，则直线与侧面所成的角为．

在中，，解得．

此正三棱柱的侧棱长为．　　　　　　　　　　  ……………………5分

 注：也可用向量法求侧棱长．

（2）解法1：过作于，连，

侧面．为二面角的平面角．

在中，，

又，．

又在中，．

故二面角的大小为．　　　　　  ………………………10分

解法2：（向量法，见后）

（3）解法1：由（2）可知，平面,平面平面，且交线为，

过作于，则平面．

在中，．

为中点，点到平面的距离为．　…………14分

解法2：（思路）取中点，连和，

由，易得平面平面，且交线为．

过点作于，则的长为点到平面的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由可求．

解法4：（向量法，见后）

题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（2）解法2：如图，建立空间直角坐标系．

则．

设为平面的法向量．

由 得．取

又平面的一个法向量

．

结合图形可知，二面角的大小为．　　　…………10分

（3）解法4：由（Ⅱ）解法2，

点到平面的距离＝．

14分

19．（1），而，

∴．

∴{}是首项为，公差为1的等差数列． ………………… 5分

（2）依题意有，而，∴．

对于函数，在x＞3．5时，y＞0，且在（3．5，）上为减函数．

故当n＝4时，取最大值＝3．

而函数在x＜3．5时，y＜0，且在（，3．5）上也为减函数．

故当n＝3时，取最小值＝－1．　　　  …………………… 9分

（3）先用数学归纳法证明，再证明．

①当时，成立；

②假设当时命题成立，即，

当时，

故当时也成立，

综合①②有，命题对任意时成立，即．

（也可设（1≤≤2），则，

故）．　　………………… 12分

下证：

．

所以， 成立 。　　　　　　　  ………………… 14分

20．（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1．

∴椭圆C的方程为  …………………………………………………5分

（2）方法一：设A、B、M点的坐标分别为

易知F点的坐标为（2，0）．

，

将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得 ………………………………………10分

　　　 …………………………………………………………12分

方法二：设A、B、M点的坐标分别为

又易知F点的坐标为（2，0）．

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

　　  ……………………………………7分

　　 ……………………………………8分

又

 …………12分

21．（1），

令（舍去）

单调递增；

当单调递减．

∴函数在上有极大值

（2）由得

， …………①

设，，

依题意知上恒成立，

，

，

上单增，要使不等式①成立，

当且仅当　　　  …………… 10分

（3）由

令，

当上递增；

当上递减

而，

恰有两个不同实根等价于

所以,．　　 　　　　 ……………… 14分