高考理科数学摸底考试

本试卷分选择题题（8道），填空题（6道），解答题（6道）共20题。满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答卷相应的位置上）

1．若，则 一定不属于的区间是 (　 )

　　 A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　D．

2．等差数列{a_n} 中，a₃ =2，则该数列的前5项的和为(　　)　

A．10 　　　　　　 B．16　　　　　　 C． 20　　　　　D．32

3．设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：①；②;③;④.

其中正确命题的个数有(　　)

A．1个　　　　　　　 B．2个　　　　　　　C．3个　　　　　  D．4个

4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为(　  )

A．1　　 　　　B．　　　  C．　　　　　　　　D．

5．已知函数，则函数的图像可能是(　　)

6．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任班长，其中至少有1名女生当选的概率是(　　  )

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　 D．

7．右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　　)

A．i＞10　　 B．i<10　　C．i＞20　　D．i<20

8．定义两种运算：，，则函数为(　　)

A．奇函数　　　　　　　 B．偶函数　　

C．奇函数且为偶函数　　 D．非奇函数且非偶函数

 

二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将正确答案填在答卷相应的位置上）

9．在极坐标系中，O是极点，，则△AOB的形状为　　　　．

10．在中，的面积为，则的值为　　　　．

11．已知、，则不等式组所表示的平面区域的面积是　　　　．

12．的展开式中项的系数是　　　　．（用数字作答）

13．F₁、F₂是椭圆的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF₁F₂是等边三角形，则a²=　　　　．

14．若，且，则的值是　　　　．

三．解答题（本大题共6小题，共80分.）

15．（本题满分12分）设，解不等式.

 

16．（本题满分12分）长方体中，，，是侧棱的中点.

（1）　　　　求证：直线平面；

（2）　　　　求三棱锥的体积；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

17．（本题满分14分）知函数（周期为.

求：当时的取值范围.

18．（本题满分14分）已知数列的前n项和.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设,求数列的前n项和.

19．（本题满分14分）　　　　　　　已知实数有极大值32.

　　（1）求函数的单调区间；

　　（2）求实数的值.

20．（本题满分14分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.

（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围.

 

 

 

数学参考答案及评分标准

一、选择题：每小题5分，共50分。

　　CABDA　CAA

二、填空题：每小题5分，共20分。

　　9．等腰直角三角形；　10．2；　11．；12．165  13．12　14．11

三、解答题：共80分。

15．解：（1）当时，原不等式等价于，即或　……3分

∴．　　…………………………………………………………………5分

（2）当时，原不等式等价于，即或 …………8分

∴．　 …………………………………………………………………10分

综上所述，不等式的解集为．　 ………………12分

16．解：（1）依题意：，，…………………………………2分

则平面.……………………………………………………………………………3分

　 （2）…………………3分（写出公式得2分，计算1分）

（3）方法一：向量法

以D为原点，DA、DC、DD₁分别x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

A（1，0，0），A₁（1，0，2），D₁（0，0，2），E（1，1，1）

 

∴ ……………………………………………………………5分

设平面AD₁E的法向量为

，即

令，则 ……………………………………………………………………7分

又是平面AA₁D的法向量，则 ………………………………………8分

，…………………………………………10分

而二面角为锐二面角，故其余弦值为 ………………………………12分

方法二：传统法（供参考）

取的中点，连，则、，

所以平面.过在平面

中作，交于，连，则,

所以为二面角的平面角

.在中，

所以。

17．解：　……………… 4分（每个公式的应用得2分）

　　　　　 …………………………………………………………  6分

因为，所以 ………………………………………………………… 8分

　  ………………………………………………………… 9分

因为，所以 ………………………………………………… 10分

　  ……………………………………………………… 12分　

故　 ……………………………………………………………… 14分

 18．(Ⅰ)当时, ………………………………………………2分

故,………………………………………5分

即数列的通项公式为

　　　…………………………………………………… 7分

(Ⅱ)当时, …………………………………………………………8分

当………………………………………9分

故………………………………………………………10分

 ……………………12分

由此可知,数列的前n项和为　　　 ……… 14分

19．解：（1）

　　　　　　……………………………………………3分

　　 令

　　 ………………………………………………………4分

　　 ……………………………………………………………………5分

　　 …………………………………7分

　　 ∴函数的单调递增区间为

　　 ∴函数的单调递减区间为…………………………………………………9分

　　

　　　　时，取得极大值……………………………………………………11分

　　　　即

　　　　解得 a=27 …………………………………………………………………………14分

20．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0

∵该直线与圆 相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为　……………………………………………2分

故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为

∴，∴双曲线C的方程为　………………………4分

（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使QT=OF₁

若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使QT=QF₁　

根据双曲线的定义TF₂=2，所以点T在以F₂为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是　① ………………………………………6分

由于点N是线段F₁T的中点，设N（x，y），T（）

则　

代入①并整理得点N的轨迹方程为  …………………8分

（3）由  

令

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根.

因此　………………………………………10分

又AB中点为

∴直线L的方程为　………………………………12分

令x=0，得

∵  ∴ 

∴故b的取值范围是　 …………………………………………14分