高考理科数学教学质量检测（一）

数学（理科）试题

　　　本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

 1．答卷前，考生务必将答题卡及第II卷密封线内的项目填写清楚。

 2．每小题选出答案后，用2B铅笔涂在答题卡上。

 3．考试结束后，考生只需交回答题卡及第II卷

●以下公式供解题时参考：

　　　 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P (A)+P（B）；如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）；

　　　 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生次的概率P_n（）=CP（1-P）．

　　　 球的表面积公式S=4πR²；球的体积公式V_球 =πR³，其中R表示球的半径

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）：

1．下列函数中，周期为π，且为偶函数的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A． = sin 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B． = 2sin·cos

　　　 C． = cos　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．=cos

2．已知全集U = Z ，A=｛1,3,5｝，B=｛ 　³ - 2² - 3 = 0｝，则B∩C_uA等于（　　）

　　　 A．｛1,3｝　　　　　　　　B．｛0,-1｝　　　　　　　 C．｛1,5｝　　　　　　　　D．｛0,1｝

3．双曲线中心在原点，实轴长为2，它的一个焦点为抛物线² = 8的焦点，则此双曲线方程为　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．－²= 1　　 B．－²= 1　　 C．² －= 1　　 D．²－ = 1

4．设a．b为两条直线，．β为两个平面，则下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．a．b与成等角，则a//b；　　　　　　　　　　　B．若a∥，b∥β，∥β则a∥b；

　　　 C．a，bβ，a∥b则∥β；　　　D．a，bβ，∥β则a∥b．

5．设a₁ = 2，数列1+2a_n是以3为公比的等比数列，则a₄的值为　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．67　　　　　　　　　　　B．77　　　　　　　　　　　 C．22　　　　　　　　　　　D．202

6．已知向量　=（－1，2）， =（2，1），则与的位置关系是　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．平行且同向　　　　B．不垂直也不平行　C．垂直　　　　　　　　　 D．平行且向反

7．随机变量的分布列如下，其中a\b\c成等差数列，且E=b,则a、b、c的值 分别为（　　）

	-1	0	1
p	a	b	c

　　　 A．，，　　　 B．，，　　　 C．，，　　　 D．，，

8．若(χ)= 3^x的反函数为g（），且g(a)+g(b)=2，则+的最小值为　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．1

9．定义运算y =　　　　　  若 m－2  m = m－2，则m的取值范围是 （　  ）

　　　 A．（－,1）　　　　　B．[1,+]　　　　　　　C．（0,+）　　　　　　D．（－,0）

1,3,5

10．函数() = 在 = 1处连续，则a的值为　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　　　　D．5

11．不等式log₃( – 5 + + 4 ) > a对于R恒成立，则a的取值范围是　　　　 （　　）

　　　 A．(－,9)　　　　　　B．(－,2)　　　　　　 C．（2,9）　　　　　　　　D．[1,+]

12．有n支球队参加单循环赛，其中两个队各赛了三场就退出了比赛，且此两队之间未进行比赛，这样到比赛结束时共赛了34场，那么n等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．12　　　　　　　　　　　B．11　　　　　　　　　　　 C．10　　　　　　　　　　　D．9

1,3,5

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在横线上

13．某工厂生产A．B．C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3:4:7现用分层抽样方法取出一个容量为n的样本，样本中B型号产品有28件，那么此样本的容量n=　　　

14．设实数．满足　则的最大值为　　　　　　　　 ．

15．定义运算　  = ad – bc，若复数满足　 =

　　　 则　　　　　　　  　　　．

16．点P在正方形ABCD所在的平面外，PD平面ABCD，且PD=AD，则PA与BD所成角的大小为　　　　　　　　　　 ．

三．解答题（本大题6个小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）

17．（12分）某地一天从6时到14时的温度变化曲线如图示，它近似满足函数

y=Asin(+)+b．

　 （1）求这段时间的最大温差；

 （2）试求这段曲线的函数解析式．

18．（12分）袋中有大小相同的5个白球和3个 黑球，现从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：

　 （1）摸出2个或3个白球；

　 （2）至少摸出一个黑球．

19．（12分）如图，在三棱锥P－ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形，且∠PCA=∠PCB

　 （1）求证：PCAB；

　 （2）若O为△ABC的中心，G为△PAB的重心，求证：GO∥平面PAC；

　 （3）若，　 二面角为锐角，求侧棱PC的取值范围.

20．（12分）已知函数() = a³ + b² + c(a,b,c∈R，a≠0) 的图像过点P( -1, 2 )，且在点P处的切线与直线- 3 = 0垂直．

　 （1）若c = 0试求函数()的单调区间；

　 （2）若 a > 0 , b > 0且 ( -, m ) , ( n ,+)是()的单调递增区间，试求n - m的范围．

21．（12分）设椭圆+ = 1（ a > b > 0 ）的左焦点为F，上顶点为A．过A做直线AF

l分别交椭圆和轴正半轴于P、Q两点，若分AQ所成的比为8∶5．

　 （1）求椭圆的离心率；

　 （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线+ + 3 = 0相切，求椭圆方程．

22．（14分）

　　　 设函数g()对任意的、∈（0，+），都有g(·)=g() + g()成立，又g(2) = 1；已知点p_n(a_n，b_n)（n ∈ N^* ）都在直线： = 2 + 2上，P₁为直线与轴的交点，数列{b_n}满足n ≥ 2时，b_n >0，且g(s_n) = g(b_n) + g(2+b_n) - 2,(n ∈ N^* )，其中S_n是数列{b_n}的前n项和．

　　　 （1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

　　　 （2）若(n) = 是否存在∈N^*，使得(+5)=2()-2成立？

　　　　 若存在，求出值；若不存在，说明理由；

　　　（3）求证：+  + … +  < ．（n ≥ 2，n ∈ N* ）

参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	A	B	D	D	A	C	A	B	B	D	B	1,3,5   C

13．98　 14．　15．（理）-2±（文）（-1）² + 4² = 1　　 16．

三、解答题

17．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30-10=20（）…………………………4′

（2）图中从6时到14时的图像是函数=Asin(+)+b的半个周期的图像．

∴·= 14-6，解得= …………………………………………………………6′

由图示A = （30 - 10）= 10，b = （30+10） = 20，这时=10sin（+ ）+ 20…

………………………………………………………………………………………………8′

将= 6,  = 10代入上式可取=，…………………………………………… 10′

综上所求的解析式为=10sin(+ )+ 20，∈[6,14]. ………………………12′

18．解：（1）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，

则P（A）=  = ，P（B）=  = ．……………………………4′

∵A、B为两个互斥时间，∴P（A+B）= P（A）+P（B）= ．

即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为………………………………………6′

（2）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则P（C）=  = ，……………10′

“至少摸出一个黑球”为事件C的对立事件，其概率为P = 1- = ． ………12′

19．证明：（1）设H为AB中点，连PH、CH．……………………………………………2′

∠PCA=△PCA△PCB

在等边三角形ABC中，　　　　　　　　　　　 平面PCH……

………………………………………………………………………………理8′（文12′）

（2）点G．O分别在PH．CH上，平面PAC

（理）（3）由（1）可知∠PHC=为二面角P – AB – C的平面角，为锐角，cos > 0．

在等边三角形ABC中，CH=，PG=PH = PG=2，

设PC =，则² = 3 + 12 - 12 cos cos =  > 0，

　　 即　　  <  < ．……………12′

20．解：（1）由()过点P得-a + b + c = 2, ˊ()=3a² + 2b, ………………2′

因为()在P处的切线与- 3 = 0垂直，所以3a – 2b = -3．

又c = 0，解得a = 1，b = 3,所以′()=3² + 6．………………………………4′

令ˊ() = 0得₁ = 0, ₂ = -2；

当x>0或< -2，ˊ() > 0，当 –2 << 0 ，ˊ() < 0，

所以（-，-2），（0，+）是f()的单调递增区间，（-2，0）是()的单调递减区间．

　　…………………………………………………………………………………………… 6′

(2)由′() = 3a² + 2b =0,得₁=0, ₂ = -．………………………………　8′

又因为a > 0，b > 0所以当> 0，或χ< ，ˊ() > O，

因此（-,-），( 0，+)是()的单调递增区间，……………………………10′

于是有n – m = 0 -(-) = ．由（1）知-a + b + c = 2,且3a - 2b = -3，

所以a = 1 - 2c > 0,b = 3 - 3c > 0,从而得c <．

n– m =  = · = 1 -  > 1，故n – m >1．……………………12′

21．解：（1）由F（-c,0），A（0,b）知直线AP方程为 – b = - ，令 = 0得

→

　　　Q（，0）………………………………………………………………………………2′

设P（₀, ₀），P分AQ所成的比为= ，

得P（，）．………4′

代入 +  = 1 中得2b² = 3ac,又b² = a²-c²，解得离心率c =．………………6′

（2）Rt△AOF中， AF = a,sin∠FAO =  = ∠FAO = ，∠AQF = ，

则 FQ = 2 AF = 2a = 4c，故圆心B（c,0），

∴Rt△QAF的外接圆方程为(– c )² + ² = a²，……………………………………10′

该圆与+ + 3 = 0相切，则d =  = a ．

即c + 3 = 2a = 2×2cc = 1，则a =2，b² = 3．

∴所求椭圆方程为+ = 1．……………………………………………………12′

22．解（1）（理）P₁(a₁,b₁)为直线 = 2χ+ 2与轴交点，则a₁ = -1，b₁ = 0………2′

由已知、∈（0，+），都有g(x·) = g() + g()成立，又g(2) = 1，

得g(4) = =g(22) = g(2) + g(2) = 2，

因为n ≥ 2时，b_n > 0，且g(S_n) = g(b_n) + g(2+b_n) - 2,（ n∈N^* ）

所以2 + g( S_n ) = g( b_n ) + g( 2+b_n )，即g(4) +g( S_n ) = g( b_n ) + g( 2+b_n )．

所以4S_n = b_n（2+b_n）b₂ = 2, b₂ – b₁ = 2；

由4S_n = b_n (2+b_n)及4S_n+1 = b_n+1(2 + b_n+1) b_n+1 - b_n = 2

所以{b_n}是以0为首项，2为公差的等差数列，∴b_n = 2n-2 ………………………4′

因为P_n( a_n，b_n)( n ∈ N )在直线y = 2 + 2上，

则b_n = 2a_n + 2，∴a_n = n - 2．………………………………………………………………6′

（1）（文）解：P₁=(a₁,b₁)为直线 = 2 + 2与轴交点，则a₁ = -1，b₁ = 0　……2′

∴a_n = -1 + ( n – 1 ) = n – 2，（n∈N^*）在直线 = 2 + 2上，

则b_n = 2a_n + 2，∴b_n = 2n - 2．…………………………………………………………4′

（2）为偶数时，( + 5) = a_{k+ 5} =+ 3，2 () – 2 = 2( 2– 2 ) – 2 = 4- 6

由+ 3 = 4- 6= 3 ，与为偶数矛盾，

　为奇数时， (+5) = b_k+5 = 2+ 8，2 ƒ () – 2 = 2- 6

由2+ 8 = 2- 6得不存在．故满足条件的不存在．…………………理10′(文9′)

（3） P₁P_n ² =( n – 1 )² + ( 2n – 2 )² = 5( n – 1 )²,n ≥ 2，

 +  + … +  = [+ + … + ]

≤[ + … + ]

=

∴… + ………………………14′