圆锥曲线(三)　----(圆锥曲线的综合问题)

班级_________　 姓名__________

1点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比为2, 则动点M的轨迹方程为

A 　　　　 B 　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

C 3x²-y²-34x+65=0　　　 D 3x²-y²-30x+63=0

2 已知双曲线,(a>0,b>0), A₁、A₂是双曲线实轴的两个端点, MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A₁M与A₂N交点的轨迹方程是　　　　　　　  (　　 )

A  B 　C 　D

3 抛物线的准线l的方程是y=1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　 )　

A (x-1)²=-8(y-1)　　　　　　 B (x-1)²=-8(y-1)　 (x≠1)

C (y-1)²=8(x-1) 　　　　　　 D (y-1)²=8(x-1) 　(x≠1)

4 若直线mx+ny－3=0与圆x²+y²=3没有公共点，则m、n满足的关系式为___________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有______个

5.试给出方程+=1表示双曲线的充要条件:__________________.

6 试讨论方程（1－k）x²+（3－k²）y²=4（k∈R）所表示的曲线.

7.设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标

8.如下图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一定点P（x₀，y₀）（y₀＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）.

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   

9.从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；

（3）过F₁作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若CD=3，求椭圆的方程.

10.（2006山东卷）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标.

DAB　　4、　 个　5、

6、3－k²>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k²>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k²>0k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k²）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在

7、解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定

由e²===1－（）²

可知===，即a=2b

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，

则d²=x²+（y－）²=a²（1－）+y²－3y+

= 4b²－3y²－3y+=－3（y+）²+4b²+3，其中－b≤y≤b

如果b＜，则当y=－b时d²（从而d）有最大值，

由题设得（）²=（b+）²，

由此得b=－＞，与b＜矛盾

因此必有b≥成立，于是当y=－时d²（从而d）有最大值，

由题设得（）²=4b²+3，由此可得b=1，a=2

故所求椭圆的直角坐标方程是+y²=1

由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－，－），点（，－）到点P的距离都是

解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是

其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，

∵e=，∴a=2b

设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

d²=x²+（y－）²=a²cos²θ+（bsinθ－）²=－3b²·（sinθ+）²+4b²+3

如果＞1，即b＜，

则当sinθ=－1时，d²（从而d）有最大值，

由题设得（）²=（b+） ²，

由此得b=－＞，与b＜矛盾

因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d²（从而d）有最大值，

由题设得（）²=4b²+3 由此得b=1，a=2

所以椭圆参数方程为

消去参数得+y²=1，

由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点（－，－），（，－）到P点的距离都是

8、解：（1）当y=时，x=.

又抛物线y²=2px的准线方程为x=－，

由抛物线定义得

所求距离为－（－）=.

（2）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB.

由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀，

相减得（y₁－y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁－x₀），

故k_PA==（x₁≠x₀）.

同理可得k_PB=（x₂≠x₀）.

由PA、PB倾斜角互补知k_PA=－k_PB，

即=－，所以y₁+y₂=－2y₀，

故=－2.

设直线AB的斜率为k_AB.

由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁，

相减得（y₂－y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂－x₁），

所以k_AB==（x₁≠x₂）.

将y₁+y₂=－2y₀（y₀＞0）代入得

k_AB==－，所以k_AB是非零常数.

9、解：（1）由已知可设M（－c，y），

则有+=1.

∵M在第二象限，∴M（－c，）.

又由AB∥OM，可知k_AB=k_OM.

∴－=－.∴b=c.∴a=b.

∴e==.

（2）设F₁Q=m，F₂Q=n，

则m+n=2a，mn＞0.F₁F₂=2c，a²=2c²，

∴cos∠F₁QF₂=

==－1

=－1≥－1=－1=0.

当且仅当m=n=a时，等号成立.

故∠F₁QF₂∈［0，］.

（3）∵CD∥AB，k_CD=－=－.

设直线CD的方程为y=－（x+c），

即y=－（x+b）.

消去y，整理得

则

　 +=1，

y=－（x+b）.

（a²+2b²）x²+2a²bx－a²b²=0.

设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），∵a²=2b²，

∴x₁+x₂=－=－=－b，

x₁·x₂=－=－=－.

∴CD=x₁－x₂

=·

=·==3.

∴b²=2，则a²=4.

∴椭圆的方程为+=1.

10、解：（Ⅰ）设双曲线方程为　　由椭圆 求得两焦点为，

对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

　解得 ，

双曲线的方程为

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，则

在双曲线上，

同理有：

若则直线过顶点，不合题意.

是二次方程的两根.

，

此时.所求的坐标为.

解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则.

，分的比为.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则.

，.

，，，

又，，即

将代入得

，否则与渐近线平行。。

解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，，则

,。

同理　　　

.

即　　。　　　　　　　　　　　　　　　　　　（*）

又　　

消去y得.

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有：

代入（*）式得　　 所求Q点的坐标为。