高考理科数学级第二次模拟考试

理科数学试卷

一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

1．设集合，，若U＝R，且，则实数m的取值范围是（　）

　　A．m＜2　　　 　　B．m≥2　　　 　　C．m≤2　　　　 D．m≤2或m≤-4

2．不等式成立的充分不必要条件是

A．或　　B．　　C．或　　 　D．

3．= （　　）

　 (A)tana　　　　(B)tan2a　　　  (C)1　　　　(D)

4．圆上与直线的距离等于的点共有

A．1个　　　　　　　　 B．2个　　　　　　　  C．3 个　　　　　　 D．4个

5．.设两个非零向量不共线，若与也不共线，则实数k的取值范围为

　（　　　）．

　 A．　　　　  　 B．　

　 C．　　　　　　　　　　　 D．

6. 三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角A—BC—D的大小为

　 A．  30⁰　　　　B． 45⁰　　　　 C．60⁰　　　　 D．90⁰

7. 等比数列前项的积为，若是一个确定的常数，那么数列，，，中也是常数的项是（　　）

　　A． 　　　 B． 　　　　 C ．　　  D．

8．如右图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形.已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（　　  ）

A. S点　　　 B.Q点　　　　 C.R点　　 D. P点

二. 填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9．若的内角满足,则_______

10．已知函数　　　　　

11．一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此

球的表面积为　　　　 

12. 若函数的递减区间为（，），则a的取值范围是　　　　 

13．实数满足,则的最大值是　　　　 

14．设函数,给出以下四个论断：

①的周期为π；　　　　　　　　②在区间（-,0）上是增函数；　

③的图象关于点（,0）对称；　　④的图象关于直线对称.

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

　　　　　　　　　　　　　 （只需将命题的序号填在横线上）．

答题卷

一、选择题答题卡（共8个小题，每小题5分，共40分）。

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案

二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）.

9、　　　　　　　　 10、　　　　 　　　　　　 11、　　　　   

12、　　　　　　　 13、　　　　　　　14、　　　　　　　　　　　　

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15、（本小题满分12分）

已知集合函数

　　　　（1）求的最大值及最小值；

　　　　（2）若不等式上恒成立，求实数。的取值范围.

16. （本小题满分13分）已知向量满足,且,令，

　（Ⅰ）求（用表示）；

　（Ⅱ）当时，f(x)x²-2tx-对任意的恒成立，求实数的取值范围。

17. (本小题满分14分) 如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

　 （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ） 求二面角的平面角的余弦值大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

18. （本小题满分14分）（本小题14分）设，令，，

又，．

（１）判断数列是等差数列还是等比数列并证明；　　（２）求数列的通项公式；

（３）求数列的前项和．

19、设O为坐标原点,曲线上有两点P、Q满足关于直线对称，又以PQ为直径的圆过O点.

（1）求的值;　　　　　　　　　 （2）求直线PQ的方程.

20.（本小题满分14分）已知函数和 的图象在处的切线互相平行.

(Ⅰ) 求的值；

（Ⅱ）设，当时，恒成立，求的取值范围.

参考答案

一、选择题答题卡（共8个小题，每小题5分，共40分）。

题号	1	2	3	4	5	6	7	8
答案	B	D	B	C	A	D	C	B

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）.

9．　　 10. 　　11. 9π　　12. a＞0

13. 7 ₁₄ ①④②③ 或 ①③②④

三、解答题：（本大题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.解：解：（1）∵

又∵

即

（2）∵

16．【解析】（Ⅰ）由题设得，对两边平方得

…………………………………………………………2分

展开整理易得……………………………………………………5分

　（Ⅱ），当且仅当＝1时取得等号. ……………………………7分

欲使对任意的恒成立，等价于 ……………9分

即在上恒成立，而在上为单调函数或常函数，

所以　………………………………………………………………11分

解得…………………………………………………………………………13分

　 故实数的取值范围为 ………………………………………………………14分

17． 解：（Ⅰ）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．

是正三角形，．

又底面侧面，且交线为．

侧面．

连，则直线与侧面所成的角为．　 ……………2分

在中，，解得．　　　 …………3分

此正三棱柱的侧棱长为．　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

 注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过作于，连，

侧面．

为二面角的平面角．　　　　　 ……………………………6分

在中，，又

，　．

又

在中，．　　　　　　　 …………………………8分

故二面角的大小为．　　　　　　　 …………………………9分

解法2：（向量法，见后）

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．　　　　　　　　　　  …………10分

在中，．　　　　 …………12分

为中点，点到平面的距离为．　　　 …………13分

解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由可求．

解法4：（向量法，见后）

题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．

则．

设为平面的法向量．

由 得．

取　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　…………6分

又平面的一个法向量　　　　　　　　　　　　  …………7分

．　 …………8分

结合图形可知，二面角的大小为．　　　　 …………9分

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，…………10分

点到平面的距离＝．13分

18. 解：(1) 由得: ,……（2分）

变形得: 即:, ………（４分）

数列是首项为1,公差为的等差数列. ………（5分）

(2) 由(1)得:, ………（7分）

 , ………（9分）

(2)　  由(1)知:  ………(11分）

………（1４分）．

19、20．解: (1) 曲线表示以为圆心,以3为半径的圆, 圆上两点P、Q满足关于直线对称,则圆心在直线上,代入解得　　-------------------------------------3分

(2)直线PQ与直线垂直,所以设PQ方程为

,.

将直线与圆的方程联立得

由解得.----------------------5分

.

又以PQ为直径的圆过O点

解得-----------------10分

故所求直线方程为-----------------------------------------------------------12分

20．解：(Ⅰ) 　 ………………………3分

∵函数和的图象在处的切线互相平行

　　  　　　　 …………………………………………………5分

　　 　　　　………………………………………………………………6分

（Ⅱ）

　　　…………………………………………7分

令　　　　

∴当时，,当时，.

∴在是单调减函数，在是单调增函数. 　…………………………9分

，

∴当时，有，当时，有.

∵当时，恒成立, ∴　　…………………………11分

∴满足条件的的值满足下列不等式组

①，或②

不等式组①的解集为空集，解不等式组②得

综上所述，满足条件的的取值范围是：.　　……………………13分