三角函数总结及统练

一. 教学内容：

三角函数总结及统练

（一）基础知识

1. 与角终边相同的角的集合

2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是、、三个量的比值

3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。

4. 三角函数线

正弦线MP=

余弦线OM=

正切线AT=

5. 同角三角函数的关系

　　平方关系：商数关系：

倒数关系：　 　　

口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

正弦
余弦
正切
余切

　7. 两角和与差的三角函数

　　

　8. 二倍角公式——代换：令

降幂公式

半角公式：；；

　9. 三角函数的图象和性质

函数
图象
定义域	R	R
值域 最值	时 时	时 时	R 无最大值 无最小值

周期性	周期为	周期为	周期为
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
单调性	在 上都是增函数；在 上都是减函数（）	在上都是增函数，在上都是减函数（）	在内都是增函数（）

　10. 函数的图象变换　

函数的图象可以通过下列两种方式得到：

（1）

（2）

（二）数学思想与基本解题方法

1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。

3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。

4. 角的和与差的相对性

如：－

角的倍角与半角的相对性

如：

5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。

6. 数形结合：心中有图，观图解题。

7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。

8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

【典型例题】

1. 如：（化成一个角的一个三角函数）

[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

（1）

（2）

解：

（1），，

　　

（2），，

，

  2.“1”的妙用——凑一拆一

熟悉下列三角式子的化简

；

[例2] 化简　　 。

答案：

  3. 化异为同

[例3] 已知，求：

（1）　　（2）

答案：（1）3；（2）

[例4] 已知，求：

答案：

  4. 与间的相互转化

（1）若，则；；=

（2）若，则；

（3）

[例5] 化简：　　　　 。

答案：

[例6] 若在第二象限，，求。

答案：

  5. 互为余角的三角函数相互转化

若，则；

[例7] 已知，则　　  。

答案：

[例8] 求值：　　　　。

答案：

[例9] 求值：　　　　。

答案：

  6. 公式的变形及活用

（1）

（2）若

[例10] 计算　　  。

答案：

[例11] 　　　　。

答案：

  7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性

[例12] 若，则　　 。

答案：7

[例13] 若，则　　　 。

答案：

[例14] 在中，A为最小角，C为最大角，且，，求的值。

答案：

  8. 角的范围的限定

由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。

[例15] 已知，求。

答案：

[例16] 若是第二象限角且，求的值。

解法一：利用公式然后限定角的范围。

解法二：设利用平方和求的值，然后限定角的范围。

解法三：利用，可回避限定角的范围。

　　答案：

  9. 在三角形中的有关问题

；；

结论：；

；

[例17] 已知A、B、C是的内角且，试判断此三角形的形状。

答案：等腰三角形，B=C

[例18] 在锐角三角形ABC中，求证：

证明：由则

故　 同理　

三式相加，得证。

  10. 形如的化简

[例19] 求值：（1）　 （2）

答案：（1）（2）

  11. 三角函数图像和性质的应用

会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。

[例20] 求下列函数的定义域。

（1）

（2）

答案：

（1）

（2）

[例21] 求下列函数的值域。

（1）

（2）若是锐角，则的值域。

答案：（1）　（2）

  12. 可化为形如：的形式（一个角的一个三角函数）

[例22] 已知函数，求“一套”。

答案：，定义域：R；值域：，，；

对称轴　 增区间：

减区间：

  13. 函数的图像的变换——两个题型，两种途径

题型一：已知解析式确定其变换方法

变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。

注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系

题型二：由函数图像求其解析式

[例23] 已知函数，（，）在一个周期内，当时，有最大值为2，当时，有最小值为，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）

答案：

  14. 可化为形如：，（定义域有限制的一元二次函数）

[例24] 求函数的值域

解：

[例25] 已知，若记其最大值为，求的解析式。

解：，当时，

当时，

当时，

  15. 周期函数与周期

[例26] 已知函数对定义域中每一个都有，其中，则的周期　　　　 。

解：T

[例27] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。

解：4

[例28] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。

解：8

[例29] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。

解：6

[例30] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立 ，求其周期。

解：6

  16. 函数与方程的思想

[例31] 方程的解的个数　　　。

解：63

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

　　

2. 已知，求：

3. 设，则　　　　。

4. 求的最大值和最小值。

5. 求值：。

6. 若；，求

7. 已知、且，，求的值。

8. 为何值时方程有解？

9. 方程，有两解时求的值。

10. 求值：

（1）

（2）

11. 求下列函数的定义域。

　　

12. 已知函数，当时，求函数的最大值和最小值及何时取到？

【试题答案】

1. ，，

　　，

2. 　　3.

4. 令，，，，

5. 　　6.

7.

提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。

解：　

又由得，得

则故

  8.

  9.

10.（1）　　（2）

11.  （）

12. 当时，；时，