专题八　数列综合问题

1．

　　数列的前n项和为，对于任意的都成立，其中为常数，且．

　　⑴ 求证：数列是等比数列；

　　⑵ 记数列的公比为，设，若数列满足：，，，求证：是等差数列；

　　⑶ 在 ⑵ 的条件下，设，数列的前项和为，求证：．

2．

　　已知等差数列的前9项的和为153．

　　⑴ 数列中是否存在确定的项，若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由；

　　⑵ 若，，求数列的前项的积；

　　⑶ 若从数列中，依次取出第二项、第四项、第八项、…、第项，按原来的顺序组成新的数列，求数列的前项的和．

3．

　　已知数列的前项和为，且，数列

中，，点在直线上．

　　⑴ 求数列，的通项，；

　　⑵ 若为数列的前项和，证明：当时，．

4．

　　 已知数列满足:,．

　  ⑴ 求，；

　  ⑵ 当时，求与的关系式，并求数列中偶数项的通项公式；

⑶ 数列前100项中所有奇数项的和．

1．证明：（1）当n=1时，

　　　 ①　　　 　 ②

　　①－②得：

 

∴数列是首项为1，公比数的等比数列.

　　　　（2）

　　 

　　∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列.

（3）由（2）得n　 则　　　  

 

　　　　 

17．（Ⅰ）解：由已知

又　　　所以，，

所以，即数列是等比数列.　

因为

因为点P（b_n，b_n+1）在直线x－y+2=0上，所以b_n－b_n+1+2=0，

所以b_n+1－b_n=2，即数列{b_n}是等差数列.　

又，b₁=1，所以　

　 （Ⅱ）证明：由已知　 　 

即证明不等式　

（1）当n=2时，2ⁿ⁺²=16，n²+3n+4=14，不等成立.　

（2）假设当n=k时，不等式成立，即2^k+2>k²+3k+4成立，

那么，当n=k+1时，，

以下只须证明　成立，

即只须证明k²+k≥0成立，　因为当k≥2时，k²+k≥0成立，

所以当n=k+1时，不等式成立　

综合（1）（2），原不等式成立.

4.(1)a₂=　

　 (2)a_2n-2+1=a_2n-2-2(2n-2)即a_2n-1=a_2n-2-2(2n-2)

　　 a_2n-1+1=a_2n-1+(2n-1)即a_2n=a_2n-2-(2n-2)+(2n-1)

　　 ∴a_2n-2=(a_2n-2-2);

　　 ∴a_2n=-()ⁿ+2(n∈N^*)

 (3)∵当n=2k时，a_2k+1=a_2k-2×2k.(k=1,2，…，49)

∴叠加可得所有奇数项的和：

1-2×（2+4+…+98）+a₂+a₄+…+a₉₈=()⁴⁹-4802