08高考理科数学2月教学质量检测联考
数学（理工农医类）
2008．2
本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．（特别强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂“数学”答题卡的前提下，再将Ⅰ卷选择题答案重涂在另一答题卡上．）如需改动，用橡皮擦干净后，再改图其他答案标号．
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数
，则z等于
A．-I B．i C．2i D．1+i
2．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计入右面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲X乙，则下列结论正确的是
A．X甲<X乙；乙比甲成绩稳定
B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定
C．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定
D．X甲<X乙；甲比乙成绩稳定
3．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角60°，则a-3b等于
A．
B．
C．
D．4
4．在下列各函数中，最小值等于2的函数是
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆x2+2y2-4=0，则以M（1，1）为重点的弦所在的直线方程是
A．x+2y-3=0 B．2x+y-3=0 C．x-2y+3=0 D．2x-y+3=0
6．如图所示的程序框图输出的结果是
A．
B．
C．
D．
7．用单位正方体搭几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是
A．9，13 B．7，16
C．10，15 D．10，16
8．函数
的最小正周期为
，且其图像向左平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象
A．关于点
对称 B．关于直线
对称
C．关于点
对称 D．关于直线
对称
9．函数
与
在同一坐标系的图象为
10．三棱锥P-ABC的四个定点都在体积为
的球的表面上，地面ABC所在的小圆面积为
，则该三棱锥的高的最大值为
A．7 B．7．5 C．8 D．9
11．抛物线
的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒
弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于
A．1 B．2 C．3 D．4
12．函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，期中a，b∈R，且0<b<-a，已知y=f（x）无零点，设函数F（x）=f2（x）+f2（-x），则对于F（x）有如下四个说法：
①定义域是[-b，b]； ②是偶函数； ③最小值是0； ④在定义域内单调递增
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知双曲线
的右焦点为
，则该双曲线的渐近线方程为__________．
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若
，则S19=______________．
15．二项式
展开式中，前三项洗漱一次组成等差数列，则展开式中的常数项等于____________________．
16．如图，平面上一长12cm，宽10cm的矩形ABCD内有一半径为1cm的圆O（圆心O在矩形对角线交点处）．把一枚半径1cm的硬币任意掷在矩形内（硬币完全落在矩形内），则硬币不与圆O相碰的概率为_________________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且A为锐角，
（1）求f（A）的最小值；
（2）若
，求b的大小．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是
．
（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（2）设甲答对题目的个数为ξ1，求ξ的分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD—A1B2C3D4中，侧棱AA1=2，底面ABCD是菱形，AB=2,∠ABC=60°，P为侧棱BB2上的动点．
（1）求证：D1P⊥AC；
（2）当二面角D1—AC—P的大小为120°，求BP的长；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥P—ACD1的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数
．
（1）求
在[0，1]上的单调区间；
（2）若对任意
，不等式
，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知可行域
的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率
．
（1）求圆C及椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PE的垂线交直线
于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．
22．（本小题满分14分）
已知在数列{an}中，
（t>0且t≠1）．
是函数
的一个极值点．
（1）证明数列
是等比数列，并求数列
的通向公式；
（2）记
，当t=2时，数列
的前n项和为Sn，求使Sn>2008的n的最小值；
（3）当t=2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有
成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：
BAADA CDBAC CC
二、填空题
13．
14．190 15．7 16．
三、解答题
17．（1）
∵A为锐角，∴
，∴
，
∴当
时，
（2）由题意知
，∴
．
又∵，∴，∴
，
又∵
，∴
，
由正弦定理
得
．
18．（1）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则
,
,
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
．
（2）由题知ξ的可能取值是1，2．
,
| ξ | 1 | 2 |
| P |
|
|
则ξ的分布列为
∴
．
19．（1）连接BD，则AC⊥BD，
∵D1D⊥地面ABCD，∴AC⊥D1D
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵D1P
平面BB1D1D，∴D1P⊥AC．
（2）连接D1O，OP，
∵D1A=D1C，∴D1O⊥AC，同理PO⊥AC1
∴∠D1OP是二面角D1—AC—P的平面角．∴∠D1OP =120°．
设
，
∵
60°，则
，
∴
．
在
中，
．
在
中，由余弦定理
120°得
，即
．
整理得
，解得
或
（舍）．∴
．
（3）∵，∴
，
∴
120°=
．
∵AC⊥平面OPD1，
∴
解法二：设上、下地面菱形对角线焦点分别为O1，O，
则
,
平面ABCD．
如图，以OD、OC、OO1所在直线为xyz轴，建立空间直角坐标系．
（1）
设
则
∴
即
．
（2）
，
，
∴
，∴
就是二面角D1—AC—P的平面角，
∴
，
解得或（舍），∴．
（3）同解法一．
20．（1）函数f（x）的定义域为
，
∴在[0，1]上，当
时，
，单调递增；
当
时，，单调递减．
∴在[0，1]上的增区间是
，减区间是
．（开闭均可）
（2）由，可得
或
，
即
或
．
由（1）当时，
，
．
∵恒成立，∴
，
∵
恒成立，∴
．
21．（1）由题意可知，可行域是以
及点
为顶点的三角形，
∵
，∴
为直角三角形，
∴外接圆C以原点O为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为
．
∵2a=4，∴a=2．
又，∴
，可得
．∴所求椭圆C1的方程是
．
（2）直线PQ与圆C相切．
设
，则
．
当
时，
，∴
；
当
时，
∴直线OQ的方程为
．
因此，点Q的坐标为
．
∵
，
∴当
时，
，；
当
时候，
，∴
．
综上，当
时候，，故直线PQ始终与圆C相切．
22．（1）
．
由题意
，即
．
∴
∵
且
，∴数列是以
为首项，t为公比的等比数列，
∴
∴
以上各式两边分别相加得
，∴
，
当
时，上式也成立，∴
（2）当
时，
∴
．
由
，得
，
，
因此n的最小值为1005．
（3）∵
令
，则有：
则
即函数
满足条件．