高考数学串讲（三） 直线 圆 圆锥曲线

一，基础知识

	椭圆	双曲线	抛物线
定义	与两个定点的距离的 和等于常数	与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数	与一个定点和一条定 直线的距离相等
标准方程	(或),	(或)	(或)
参数方程	(或)	(或)	(或)
焦点	或	或	或
正数a,b,c, p的关系	()	()
离心率
准线	(或)	(或)	(或)
渐近线		(或)
焦半径	(或 )	(, ), (点在左或下支)	(或)
统一定义	到定点的距离与到定 的距离之比等于定值	的点的集合	,(注:焦点要与对应 准线配对使用)

二，跟踪训练

1，（05广东）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.

（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2，（05广东）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；

（Ⅱ）求折痕的长的最大值.

3,(04全国I)双曲线C：（）与直线：相交于两个不同

的点A，B．

（I）求双曲线C的离心率的取值范围；

（II）设直线与轴的交点为P，且，求的值。

4，（05重庆）已知椭圆的方程为，双曲线的左，右焦点分别为的左，右顶点，而的左，右顶点分别是的左，右焦点。

（I）求双曲线的方程；

（II）若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与

的两个交点A和B满足（其中O为原点），求的取值范围。

5，（04广东）设直线与椭圆相交于A，B两点，又与双曲线

相交于C，D两点，C，D三等分线段AB。求直线的方程。

三，简明提示

1，（I）设，则消去得；

（II）

，当，即时，等号成立。

2，解：设点落在上的点处，则折痕所在的直线是线段的垂直平分线

(Ⅰ) 的方程为：　　　　　　　　　　  ①

点的纵坐标恒为1，代入 ① 得点横坐标为，由：，得

折痕的方程为：得： （其中）②

(II) 若折痕所在直线与轴的交点的纵坐标大于1，则折痕与线段CD有交点

若折痕所在直线与直线的交点的纵坐标小于0，则折痕与线段AB有交点

对于折痕上的点（，）

当时，令，得：，又，所以

即：当时，折痕与线段AD有交点　　　 ③

当时，折痕与线段DC有交点　　　④

当时，令，得，又，所以

即：当时，折痕与BC的边有交点　 ⑤

当时，折痕与线段AB有交点 ⑥

综合③、④、⑤、⑥。记折痕的长度为

（1）　　　 当时，折痕的两个端点分别在AD、BC上

当时，有最大值=

（2）　　　 当时，折痕的两个端点分别在AB、AD上

设，，则 （）
对求导数，则：
解，得（舍去）或，而
因此：的最大值
从而得到：

（3）　　　 当时，折痕的两个端点分别在AB、CD上

当时，有最大值

综合（1）、（2）、（3），得，当时，有最大值。

3，（I）由，得　①，有且，

，得的取值范围为；

（II）设，由，得，

有，得，，消去，得。

4，（I）设所求的方程为，则，有；

（II）由有两个不同解得 ①，由有两个不同解得

且 ②，由得，即或 ③

由①，②，③得的取值范围是。

5，解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为

y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

依题意有，由得

若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故

由

故l的方程为

(ii)当b=0时，由(1)得

故l的方程为

再讨论l与x轴垂直的情况.

设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，

，

，

综上所述，故l的方程为、和。