2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国文)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.设集合M＝{(x,y)x²＋y²＝1,x∈R,y∈R}，N＝{(x,y)x²－y＝0,x∈R,y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为

A1　　　　　　　　B2　　　　　　　　　C3　　　　　　　　　D4

2.函数y＝sin的最小正周期是

A　　　　　　　　Bπ　　　　　　　　C2π　　　　　　　　D4π

3.记函数y＝1＋3^－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)＝

A2　　　　　　　　B－2　　　　　　　　C3　　　　　　　　　D－1

4.等比数列{a_n}中，a₂＝9，a₅＝243，则{a_n}的前4项和为

A81　　　　　　　　B120　　　　　　　　C168　　　　　　　　D192

5.圆x²＋y²－4x＝0在点P(1,)处的切线方程为

Ax＋y－2＝0　　　　　　　　　　　　Bx＋y－4＝0

Cx－y＋4＝0　　　　　　　　　　　　Dx－y＋2＝0

6.的展开式中的常数项为

A15　　　　　　　　B－15　　　　　　　C20　　　　　　　　D－20

7.设复数z的辐角主值为，虚部为，则z²＝

A－2－2i　　　　B－2－2i　　　　C2＋2i　　　　　　D2＋2i

8.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y＝x，则该双曲线的离心率为e＝

A5　　　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　　D

9.不等式1＜x＋1＜3的解集为

A(0,2)　　　　　　　B(－2,0)∪(2,4)　　　　C(－4,0)　　　　　　D(－4，－2)∪(0，2)

10.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为

A　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　D

11.在三角形ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为

A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　　　D3

12.将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有

A12种　　　　　　　B24种　　　　　　　C36种　　　　　　　D48种

二、填空题(每小题4分，共16分)

13.函数y＝的定义域是＿＿＿＿。

14.用平面α截半径为R的球，如果球心到平面α的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为＿＿＿＿。

15.函数y＝sinx－cosx(x∈R)的最大值为＿＿＿＿。

16.设P为圆x²＋y²＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为＿＿＿＿。

三、解答题(本大题共6小题，共74分)

17.(本题满分12分)解方程：4^x－2^x＋2－12＝0。

18.(本题满分12分)已知α为锐角，且tanα＝，求的值。

19.(本题满分12分)设数列{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，且＝9S₂，S₄＝4S₂，求数列的通项公式。

20.(本题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800m²的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

21.(本题满分12分)三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3。

(1)求证：AB⊥BC；

(2)设AB＝BC＝2，求AC与平面PBC所成角的大小。

22.(本题满分12分)设椭圆的两个焦点是F₁(－c,0)与F₂(c,0)(c＞0)，且椭圆上存在点P，使得直线PF₁与PF₂垂直。

(1)求实数m的取值范围；

(2)设L是相应于焦点F₂的准线，直线PF₂与L相交于点Q。若＝2－，求直线PF₂的方程。