2004年高考数学试题（广东卷）

时间：120分钟　满分：150分

一、选择题：共12小题，每小题5分。

(1)　　  已知平面向量，且，则

(A)　　　　　 (B)　　　　　　(C)　　　　　　　(D)

(2)　　  已知，则

(A)　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　 (D)

(3)　　  设函数在处连续，则

(A)　 　　　 (B)　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

(4)　　  的值为

 (A)　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　(C)　　　　　　　　　　　　　(D)

(5)　　  函数是

(A)周期为的偶函数　　　　 (B)周期为的奇函数

(C)周期为的偶函数　　　　　　　(D)周期为的奇函数

(6)　　  一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是

(A)0.1536　　　　　　　(B)0.1808　　　　　　　(C)0.5632　　　　　　　(D)0.9728

(7)　　  在棱长为1的正方体上，分别过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是

(A)　　 　　　 　　　 (B)　　　　　　 　　　 (C)　　 　　　 　　　 (D)

(8)　　  若双曲线的焦点到它相应的准线的距离是2，则

(A)　　　　　　　　　　(B)　　　 　　　　　　　(C)　　　　　　　　　　　　　　(D)

(9)　　  当时，函数的最小值是

(A)　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　 　　　　　　　(C)　　　　　　 　　　　　　　　　　 (D)

(10)　变量满足下列条件：

则使得的值最小的是

(A)　　　　　　　　　(B)　　　　　　　　　　　(C)　　　　　　　　　　　　　　(D)

(11)　若，则

(A)　　　　　 (B)

(C)　　　　　 (D)

(12)　如右下图，定圆半径为，圆心为，则直线与直线的交点在

(A)第四象限　　　　 (B)第三象限　 (C)第二象限　　　　 (D)第一象限

二、填空题：共4小题，每题4分

(13)  某班委由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长。其中至少有一名女生当选的概率是　　　　　　　　　　  。（用分数作答）

(14)　已知复数与均是纯虚数，则　　　　　　　 。

(15)　由图(1)有关系，则由图(2)有关系　　　　　　　　 。

(16)　函数的反函数　　　　　　　　　　　  。

三、解答题：共6小题，74分

(17)　本小题12分

已知角成公比为2的等比数列（a　Î [0，2p]），也成等比数列，求的值。

(18)　本小题12分

如右下图，在长方体中，已知，分别是线段上的点，且

(I)求二面角的正切值

(II)求直线与所成角的余弦值

(19)　本小题12分

设函数

(I)证明：当且时，

(II)点（0<x₀<1）在曲线上，求曲线上在点处的切线与轴，轴正向所围成的三角形面积的表达式。（用表示）

(20)　本小题12分

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚，已知各观测点到中心的距离都是，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为，各相关点均在同一平面上）

(21)　本小题12分

设函数，其中常数为整数

(I)当为何值时，

(II)定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得

试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根

(22)　本小题14分

设直线与椭圆相交于两点，又与双曲线相交于C、D两点，三等分线段，求直线的方程。

　　　　2004年普通高等学校招生全国统一考试

广东数学标准答案

一、　　　　 选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A卷

B

C

B

A

A

D

B

C

D

B

A

C

B卷

C

A

C

A

B

D

D

A

A

B

D

B

二、　　　　 填空题：

（13）　（14）－2i　(15)　　 (16)

三、　　　　 解答题

17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α

∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列

当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，

18．解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有

D(0,3,0)、D₁(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C₁(4,3,2)

于是，

设向量与平面C₁DE垂直，则有

（II）设EC₁与FD₁所成角为β，则

19.证明：（I）

故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和

故

（II）0<x<1时，

曲线y=f(x)在点P（x₀，y₀）处的切线方程为：

∴切线与x轴、y轴正向的交点为

故所求三角形面积听表达式为：

20．解：如图，

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA=PB，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故PB－ PA=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，

依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵PB>PA,

答：巨响发生在接报中心的西偏北45⁰距中心处.

21.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且

当x∈(-m,1-m)时,f ^’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)

当x∈(1-m, +∞)时,f ^’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)

根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且

对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0

(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,

函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.

由所给定理知，存在唯一的

而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的

故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。

22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为

y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

依题意有，由

若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故

由

故l的方程为

(ii)当b=0时，由(1)得

由

故l的方程为

再讨论l与x轴垂直的情况.

设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，

综上所述，故l的方程为、和