2004年全国各地高考数学试题20套

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2004年高考数学试题(广东卷)

时间:120分钟 满分:150分

一、选择题:共12小题,每小题5分。

(1)    已知平面向量,且,则

(A)      (B)      (C)       (D)

(2)    已知,则

(A)       (B)

(C)       (D)

(3)    设函数处连续,则

(A)      (B)         (C)          (D)

(4)    的值为

 (A)         (B)          (C)             (D)

(5)    函数

(A)周期为的偶函数     (B)周期为的奇函数

(C)周期为的偶函数       (D)周期为的奇函数

(6)    一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是

(A)0.1536       (B)0.1808       (C)0.5632       (D)0.9728

(7)    在棱长为1的正方体上,分别过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是

(A)           (B)           (C)           (D)

(8)    若双曲线的焦点到它相应的准线的距离是2,则

(A)          (B)           (C)              (D)

(9)    当时,函数的最小值是

(A)              (B)              (C)                  (D)

(10) 变量满足下列条件:

则使得的值最小的

(A)         (B)           (C)              (D)

(11) 若,则

(A)      (B)

(C)      (D)

(12) 如右下图,定圆半径为,圆心为,则直线与直线的交点在

(A)第四象限     (B)第三象限  (C)第二象限     (D)第一象限

二、填空题:共4小题,每题4分

(13)  某班委由4名男生和3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长。其中至少有一名女生当选的概率是            。(用分数作答)

(14) 已知复数均是纯虚数,则       

(15) 由图(1)有关系,则由图(2)有关系        

(16) 函数的反函数            

三、解答题:共6小题,74分

(17) 本小题12分

已知角成公比为2的等比数列(a Î [0,2p]),也成等比数列,求的值。

(18) 本小题12分

如右下图,在长方体中,已知分别是线段上的点,且

(I)求二面角的正切值

(II)求直线所成角的余弦值

(19) 本小题12分

设函数

(I)证明:当时,

(II)点(0<x0<1)在曲线上,求曲线上在点处的切线与轴,轴正向所围成的三角形面积的表达式。(用表示)

(20) 本小题12分

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚,已知各观测点到中心的距离都是,试确定该巨响的位置。(假定当时声音传播的速度为,各相关点均在同一平面上)

(21) 本小题12分

设函数,其中常数为整数

(I)当为何值时,

(II)定理:若函数上连续,且异号,则至少存在一点,使得

试用上述定理证明:当整数时,方程内有两个实根

(22) 本小题14分

设直线与椭圆相交于两点,又与双曲线相交于C、D两点,三等分线段,求直线的方程。

    2004年普通高等学校招生全国统一考试

广东数学标准答案

一、     选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A卷

B

C

B

A

A

D

B

C

D

B

A

C

B卷

C

A

C

A

B

D

D

A

A

B

D

B

二、     填空题:

(13) (14)-2i (15)   (16)

三、     解答题

17.解:∵α,β,γ成公比为2的等比数列,∴β=2α,γ=4α

∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列

当cosα=1时,sinα=0,与等比数列的首项不为零,故cosα=1应舍去,

18.解:(I)以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,则有

D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)

于是,

设向量与平面C1DE垂直,则有

(II)设EC1与FD1所成角为β,则

19.证明:(I)

故f(x)在(0,1上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和

(II)0<x<1时,

曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为:

∴切线与x轴、y轴正向的交点为

故所求三角形面积听表达式为:

20.解:如图,

以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)

设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得PA=PB,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故PB- PA=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,

依题意得a=680, c=1020,

用y=-x代入上式,得,∵PB>PA,

答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.

21.(I)解:函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续,且

当x∈(-m,1-m)时,f (x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)

当x∈(1-m, +∞)时,f (x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)

根据函数极值判别方法,f(1-m)=1-m为极小值,而且

对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故当整数m≤1时,f(x) ≥1-m≥0

(II)证明:由(I)知,当整数m>1时,f(1-m)=1-m<0,

函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.

由所给定理知,存在唯一的

而当整数m>1时,

类似地,当整数m>1时,函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号,由所给定理知,存在唯一的

故当m>1时,方程f(x)=0在内有两个实根。

22.解:首先讨论l不与x轴垂直时的情况,设直线l的方程为

y=kx+b,如图所示,l与椭圆、双曲线的交点为:

依题意有,由

,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故

故l的方程为

(ii)当b=0时,由(1)得

故l的方程为

再讨论l与x轴垂直的情况.

设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得,

综上所述,故l的方程为