2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（江苏卷）

一、选择题(5分×12=60分)

1.设集合P={1，2，3，4}，Q={}，则P∩Q等于　　　　　　　　 (　　　)

(A){1，2}　　 (B) {3，4}　　　　(C) {1}　　　  (D) {-2，-1，0，1，2}

2.函数y=2cos²x+1(x∈R)的最小正周期为　　　　　　　　　　　　　　  (　　　)

(A)　　　　 (B)　　　　　  (C)　　　　 (D)

3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　)

(A)140种　　　(B)120种　　　　(C)35种　　　 (D)34种

4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　　)

(A)　　(B) 　　(C) 　 (D)

5.若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为　　  (　　　)

(A)　　　　 (B)　　　　 (C) 4　　　　　 (D)

6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为　　　　　　　　　　　　　　  (　　　)

(A)0.6小时　　 (B)0.9小时　　　(C)1.0小时　　　(D)1.5小时

7.的展开式中x³的系数是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　)

(A)6　　　　　  (B)12　　　　　 (C)24　　　　　 (D)48

8.若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则　　　　 (　　　)

(A)a=2,b=2　　　(B)a=,b=2　　　  (C)a=2,b=1　　  (D)a=,b=

9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是　　　　　　　  (　　　)

(A)　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

10.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是　　　 (　　　)

(A)1，-1　　　　(B)1，-17　　　 (C)3，-17　　　 (D)9，-19

11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f ^-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于　　　　　　　　　　  (　　　)

(A)3　　　　　  (B)　　　　　 (C)　　　　　 (D)

12.设函数，区间M=[a，b](a<b)，集合N={}，则使M=N成立的实数对(a，b)有　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　　)

(A)0个　　　　  (B)1个　　　　 (C)2个　　　　  (D)无数多个

二、填空题(4分×4=16分)

13.二次函数y=ax²+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	6	0	-4	-6	-6	-4	0	6

则不等式ax²+bx+c>0的解集是_______________________.

14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.

15.设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=(对于所有n≥1)，且a₄=54，则a₁的数值是_______________________.

16.平面向量中，已知=(4，-3)，=1，且=5，则向量=__________.

三、解答题(12分×5+14分=74分)

17.已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值.

18.在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(Ⅱ)设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；

(Ⅲ)求点P到平面ABD₁的距离.

19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

  某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

20.设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n.

(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有成立.

21.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).　　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.

22.已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有

  和，其中是大于0的常数.设实数a₀，a，b满足 和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

2004年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考答案

一、选择题

ABDCA　BCADC　BA

二、填空题

13、或

14、

15、2

16、

三、解答题

17、解：由题意可知，

　　　　

18、解（1）

（2）略

（3）

19、解：，设

　　　　当时，取最大值7万元

20、解：（1）

（2）或或

21、解：（1）

（2）或0

22、解：（1）不妨设，由

可知，

是R上的增函数

不存在，使得

又

（2）要证：

　　 即证：　　　　　　　　 

　　 不妨设，

由

得，

即，

则　　　　　　　　 （1）

由得

即，

则　　　　　 （2）

由（1）（2）可得

（3）,

　　

又由（2）中结论