2004年高考试题湖南卷数学(理)试题
一.选择题
(1)复数
的值是
(A) 4
(B) –4
(C)4
(D)—4
(2)如果双曲线
=1上一点P到右焦点的距离等于
,那么点P到右准线的距离是
(A)
(B) 13
(C)5
(D)
(3)设
是函数
的反函数,若
,则f(a—b)的值为
(A) 1
(B)2
(C)3
(D)
(4) 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为
A 90 B 60 C 45 D 30
(5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①：在丙地区中有20个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
（A）分层抽样，系统抽样法 （B）分层抽样法，简单随机抽样法
（C）系统抽样法，分层抽样法 （D）简随机抽样法，分层抽样法
（6）设函数
若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x的方程
的解的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（7）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是
（A）
≥4
（B）
≥
（C）
≥
（D）
≥
（8）数列
中，
则
=
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）设集合
≤0},
那么点P(2,3) 的充要条件是
(A)m＞—1 ,n＜5 (B) m＜--1 ,n＜5
(C) m＞—1 ,n＞5 (D) m＜--1 ,n＞5
(10) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为
(A)56 (B) 52 (C)48 (D)40
(12)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是
(A) (--3,0)
(13)已知向量
向量
,则
的最大值是
.
(14)同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上, ξ=0表示结果中没有正面向上,则Eξ= .
(15)若
的展开式中的常数项为84,则n=
.
(16)设F是椭圆
的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点
使
组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为
.
三.解答题: 本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知
求
的值.
(19) (本小题满分12分)
如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,
点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.
(Ⅰ)证明 PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.
(20)(本小题满分12分)
已知函数
其中a≤0,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.
(21)(本小题满分12分)
如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
(Ⅰ)设点P分有向线段
所成的比为λ，证明
(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
（22）（本小题满分14分）
如图，直线
与
相交于点P。直线
与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线
于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…。点Pn（n=1,2,…）的横坐标构成数列
。
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)求数列的通项公式；
(Ⅲ)比较
与
的大小。
2004年高考试题湖南卷数学答案
一选择题
1. D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.C B 12.D
二.填空题
13. 4 14.0.75 15. 9 16. 
三.解答题:
(17) (本小题满分12分)
已知求的值.
解: 由
= 
=
得
又
,所以
.
于是
=
=
=
.
(19) (本小题满分12分)
(Ⅰ)证明 因为底面ABCD是菱形, ∠ABC=60º,
所以AB=AD=AC=a.
在△PAB中,由
知PA⊥AB.
同理, PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD
知EG⊥平面ABCD.
作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC.
∠EHG为二面角θ的平面角.
又PE:ED=2:1
所以
从而
(Ⅲ)解法一 以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0,0,0),B(
D(0,a,0),P(0,0,a), E(0, 
所以
设点F是棱PC上的点, 
其中0<λ<1,则
=
令
得
即 
.
解得
即 
时, 
共面.
又BF
平面AEC,所以当F是棱PC的时,BF∥平面AEC.
解法二 当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下.
证法一 取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE. ①
由
知E是MD的中点.
连接BM、BD,设BD
AC=O，则O为BD的中点。
所以BM∥OE。 ②
由①、②知,平面BFM∥平面AEC.
证法二
因为
=
=
所以
、
、
共面。
又BF平面AEC,从而BF∥平面AEC。
（20）（本小题满分12分）
解 (Ⅰ)
（）当a=0时，令
=0, 得x=0.
若x>0. 则>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.
(
当a<0时,令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或
若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.
若0<x<
则>0.从而f(x)在(0, )上单调递增;
若x> 则<0.从而f(x)在(+∞)上单调递减.
(Ⅱ) (
当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1.
(当
时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=
.
当a≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是
.
21.解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为
,代入抛物线方程
得
①
设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。
所以
由点P（0，m）分有向线段
所成的比为
，
得
， 即
又点Q是点P关于原点的以称点，
故点Q的坐标是（0，--m）,从而
=
=
=
=
=0，
所以
(Ⅱ) 由
得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。
由得
， 
所以抛物线在点A处切线的斜率为
。
设圆C的方程是
，
则
解之得 
所以圆C的方程是
，
22.（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明 设点
的坐标是
由已知条件得
点
的坐标分别是：
由
在直线上，
得
所以
即
(Ⅱ)解 由题设知 
又由（Ⅰ）知
所以
数列
是首项为x1—1 ,公比为
的等比数列。
从而
即
，
。
(Ⅲ) 解 由
得点P的坐标为（1，1）。
所以
（当
，即
或
时，
而此时0
所以
故
当0
即
时，
而此时
所以
故