08年高三理科数学测试题

命题：覃明富　孙红波　王圣忠　　　审题：杨天文　 王圣忠　　   2008.2.23

满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．　 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填在试卷的答题卡上。

2．　 选择题务必用2B铅笔填涂，解答题必须使用黑色墨水的签字笔作答；字迹工整，笔迹清晰。

3．　 请在答题区域内作答，超出答题区域黑色边框的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则等于（　　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　　　 D．

2．=（　　）

　　A．　　　　　　 B．0　　　　　　　C．　　　　　　 D．

3．若，则的值为　（　　  ）

　A． 　　　　 　　B．　　　　　　  C．　　　　　　 D．　　

4．已知向量，(1, )，则的最小值是（　　 ）

A．1　　　　　　B．　　　　　　 C．　　　　　D．2

5．已知数列为等差数列，且，则（　　　）

　　 A．　　  B．　　 C．　　 D．

6．已知p：，q:,若是的充分条件，则的取值范围为（　　）

A． 　　　B．　　C．或　　D．或

7．关于直线，与平面，，有以下四个命题：

　　①若且，则； ②若且，则；

　　③若且，则；　　④若且，则．

　　其中真命题的序号是 　 （　　 　）

　　A．①②　　　　 B．③④　　　　C．①④　　　 D．②③

8．把函数的图象沿轴平移个单位，所得图象关于原点对称，则 的最小值是（　　 ）

　A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．

9．过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且AB=BC,则双曲线M的离心率是（　　　）

A.　　　　　  B.　　　　　　　 C.　　　　　　  D.

10．如图，在平面直角坐标系中，，映

射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系

上的点，则当点沿着折线运

动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（　　　）

　　　　　　　 　　　

　　　 A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　 D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置11．　　　　　 

12．设中心在原点的双曲线与椭圆=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是　　　　　　　　　　

13．如图，目标函数的可行域为四边形（含边界），

、，若为目标函数取最大值的最优解，则

的取值范围是　　　　　　　　  　　

14．把正方形ABCD沿对角线AC折起，构成以A、B　C、D四点为顶点的三棱锥，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为　　　　　　

15．关于函数（为常数，且）对于下列命题：①函数的最小值为-1；②函数在每一点处都连续；③函数在R上存在反函数；④函数在处可导；⑤对任意的实数且，恒有

其中正确命题的序号是___________________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16．（本题满分12分）已知向量  已知角的终边上一点，记。

⑴求函数的最大值，最小正周期；

⑵作出函数在区间[0，π]上的图象。

17．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

　 （1）证明：D₁E⊥A₁D；

　 （2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD₁的距离；

　 （3）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为.

18．（本小题满分12分）随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数，每人每年可创利b万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

19．（本题满分12分）已知数列的首项，前项和为，且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，点B分所成的比为，设

。

⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设，证明：。

20．（本题满分13分）已知半圆，动圆与此半圆相切且与轴相切。

（1）求动圆圆心的轨迹方程。

（2）是否存在斜率为的直线，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且满足AD=2BC？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。

21．（本题满分14分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。

（1）试求函数的单调区间；

（2）已知各项不为零的数列满足，求证：；

（3）设，为数列的前项和，求证：。

宜昌市三校联合体2008届高三二月统考

数学（理科）试题 参考答案

1——10　　  BDCBA　　 BDBAA

11． 　 12．　　13．　　14．　　15．①②⑤

16．解：⑴角的终边上一点

　　　　 ……………2分

　　　　 ……………6分

的最大值为，　　最小正周期　　 ……………8分

⑵略。……………12分

17．（1）证明：连，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，为在平面的射影，

而AD=AA₁=1，则四边形是正方形，

由三垂线定理得D₁E⊥A₁D　 ……………3分

（2）解：以点D为原点，DA为轴，DC为轴建立如图所示的直角坐标系。则

、、、则，，

，设平面的法向量为

，记

点A到面ECD₁的距离……………7分

（3）解：设则，设平面的法向量为

，记

而平面ECD的法向量，则二面角D₁—EC—D的平面角

。

当AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为。……………12分

18．解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则

……………4分

依题意

　……………6分

　 （1）当取到最大值；……………8分

　 （2）当取到最大值；……………10分

答：当，……………12分

19．⑴由题意得……………3分

数列是以为首项，以2为公比的等比数列。………………6分

[则（）]

⑵由及得

，……………………………………………………………8分

则……………………10分

　　  ………………12分

20．（1）设动圆圆心，作⊥轴于点

①若两圆外切：　　，则　化简得：

　　　……………3分

②若两圆内切：　，则　　

　　 ……………5分

综上，动圆圆心的轨迹方程是

　　及　 ……………6分

其图象为两条抛物线位于轴上方的部分，如图所示。

（2）假设直线存在，可设的方程为。

依题意得，它与曲线交于点，与曲线交于点。

即

　　①　　　　 　　②

，　　　　

2　　=2

即+=4－　　得……………11分

将其代入方程①得　 　 

因为曲线的横坐标范围为，所以这样的直线不存在。

……………13分

21．（1）设

　　　　　 　　 ∴　　 ∴

　　　　　 由

　　　　　 又∵　　∴　　

∴　　…… 3分　

　　　　　 于是

　　　　　 由得或；　 由得或

　　　　　 故函数的单调递增区间为和，

单调减区间为和　　　　　　　　　　　 ……4分

（2）由已知可得，　　 当时，

　　 两式相减得

∴或

当时，，若，则这与矛盾

∴　　 ∴ 　　　　　　　　　　　……6分

于是，待证不等式即为。

为此，我们考虑证明不等式

令则，

再令，　　 由知

∴当时，单调递增　　∴　 于是

即　　　　　 ①

令，　　由知

∴当时，单调递增　　∴　 于是

即　　　　 ②

由①、②可知　　　　　　　　　……10分

所以，，即　　　　 ……11分

（3）由（2）可知　 则

　　 在中令，并将各式相加得

　　

　　 即　　　　　　　　　　　　　  ……14分