08年高三数学第一学期期末考试试卷
说明：1、本卷满分150分，答卷时间100分钟.
2、答卷一律在答题纸上进行，只交答题纸.
一、选择题（单项选择题，12小题，每题5分）
1.下列函数中，最小正周期为
的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．命题：“若
，则
”的逆否命题是（ ）
A.若
，则
B.若，则
C.若
，则
D.若，则
3．已知等差数列
的公差为2, 若
成等比数列, 则
=( )
A . –4 B. –6 C. –8 D. –10
4．已知函数
是
的反函数，若
的图象过点（3，4），则
等于（ ）
A．
B．
C．
D． 
5.设集合A={
2<
} ,B={<2},若A∩B=A, 则实数的取值范围是（ ）
A．<4
B. £4 C. 0<£4 D. 0<<4
6．已知
=(2,3),
=(-4,7),则在方向上的投影为（ ）
A
B
C
D
7．对于椭圆
，
是两焦点，若P为椭圆上一点，则
.现已知P为椭圆
上的点，若
，则
的面积是（ ）
A.
B.
C.
D. 16
8．在
中，
是
边上一点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
为非零实数，且
，则下列命题成立的是（ ）
A．
B.
C.
D.
10．设抛物线
与过焦点的直线交于
两点，则
的值( )
A
B
C
D 
11．在棱长为2的正方体ABCD—A，B，C，D，中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC，、AD的中点，那么异面直线OE和FD，所成的角的余弦值等于( )
A
B
C
D
12．定义行列式运算
=
.将函数
的图象向左平移
（
）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.函数
的定义域为 ．
14.过长方体的同一个顶点的三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 .
15.若椭圆
的离心率为
,则双曲线
的离心率为_____.
16.定义“符号函数”f（x）=sgnx=
则不等式x+2＞（x－2）sgnx的解集是_______.
高三第一学期期末考试数学试卷答题纸
一 、选择题：(每小题5分)
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题：(每小题5分)
13__________ 14_________ _
15_________ _ 16_________ _
三、解答题：
17. （本小题满分10分）在
中，
，求
的值和的面积.
18.（本题满分12分）已知函数
的图象与
轴分别相交于点A、B两点，且
.
（1）求
的值；
（2）若函数
，当满足
时，求函数
的最小值.
19. （本题满分12分）正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长是
，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．
（Ⅰ）求证：A1C⊥面AEF；
（Ⅱ）求截面AEF与底面ABCD所成的二面角的大小；
20. （本题满分12分） 设数列{
}为等差数列，Sn为数列{}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{
}的前n项和，求Tn.
21. （本题满分12分）已知函数
是定义在
上的周期函数，周期
，函数
是奇函数又知在
上是一次函数，在
上是二次函数，且在
时函数取得最小值
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求
的解析式；
（Ⅲ）求在
上的解析式
22. （本题满分12分）如图，点
为双曲线
的左焦点，左准线
交
轴于点
，点P是上的一点，已知
，且线段PF的中点
在双曲线的左支上.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若过点
的直线
与双曲线的左右两支分别交于
、
两点，设
，当
时，求直线的斜率
的取值范围.
高三第一学期期末考试数学参考答案
一 、选择题：(每小题5分)
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | D | B | D | B | C | B | A | C | B | B | B |
二、 填空题：(每小题5分)
13.__________ 
14.________ 50π
_
15._________ 
_ 16._________ （－
，+∞） _
三、解答题：
17. （本小题满分10分）解：
，
所以
，
18（本题满分12分）解: (1)由已知得A(
,0), B(0,b), 则
=(
,b),于是=2,b=2. ∴
.
(2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,
=
=x+2+
-5
由于x+2>0,则≥-3,当且仅当x+2=1,即x= -1时等号成立. ∴的最小值是-3.
19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：∵CB⊥面A1B，∴A1C在平面A1B
上的射影为A1B，又∵A1B⊥AE，∴A1C⊥AE，
同理A1C⊥AF， 又AE∩AF＝A，∴A1C⊥面AEF；
方法2：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立直角坐标系，则B(，0，0)，A(0，0，3)，设E(，0，yE)
∵
⊥
，而＝(－，0，3)，＝(，0，yE)，∴
＝0，即
×+0×0+3×yE ＝0，得yE
＝1，
∴E(，0，1)，而C(，，0)，
∴
＝(，，－3)，∴＝
×+×0+(－3)×1＝0，
∴⊥，
同理⊥
，又AE∩AF＝A，∴A1C⊥面AEF．
（Ⅱ）A1B⊥AE，AA1⊥AB，∴∠BA1A＝∠EAB．∴Rt△A1AB∽Rt△ABE，
∴
又∵AB＝，A1A＝3，∴EB＝1，AE＝
＝2，
同理DF＝1，AF＝2，∵EF∥BD，∴EF∥面ABCD，
∴过A作直线l∥EF，则l为 面AEF与面ABCD的交线，
过B作BM⊥l于M，连EM，∵EB∥面ABCD，∴BM是EM在面ABCD内的射影，
∴EM⊥l， ∴∠EMB是所求的二面角的平面角，
BM＝
，tan∠EMB＝
＝
，∴∠EMB＝arctan
方法2：设截面AEF与底面ABCD所成的二面角为
，
因为△ABD为AEF在底面ABCD上的射影三角形，则cos＝
，
而S△ABD＝
，S△AEF＝
，所以cos＝
，＝arccos
；
截面AEF与底面ABCD所成的二面角为
，则cos＝cos＝
＝
＝，＝arccos．
方法3：面AEF的法向量，
是面ABCD的法向量，与的夹角为
20. （本题满分12分）法一：设{an}首项为a1，公差为d，则
∴ 
∴ 
∴
此式为n的一次函数
∴ {}为等差数列 ∴ 
法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn
∴ 
解之得：
∴ 
，下略
21．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵
是以
为周期的周期函数，∴
，
又∵是奇函数，∴
，
∴
（Ⅱ）当
时，由题意可设
，
由得
，∴
，
∴
（Ⅲ）∵是奇函数，∴
，
又知在上是一次函数，
∴可设
，而
，
∴
，∴当
时，
，
从而当
时，
，故
时，
∴当
时，有
，∴
当
时，
，∴
∴
22．（本题满分12分）（Ⅰ）设双曲线方程为
（
，
），
则
…①，
，∴
…②．
又
在双曲线上，∴
…③．（4分）
联立①②③，解得
，
．∴双曲线方程为
．（2分）
注：对点M用第二定义，得
，可简化计算．
（Ⅱ）
，设
，
，m：
，则
由
，得
，
．（2分）
由
，得
．
∴
，
．
．（2分）
由，
，，消去
，
，
得
．
∵
，函数
在
上单调递增，
∴
，∴
．（2分）
又直线m与双曲线的两支相交，即方程两根同号，
∴
． ∴
，故
．