《不等式》复习小结

知识梳理

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：　(2)传递性：

(3)加法法则：；

(4)乘法法则：；

(5)倒数法则：

(6)乘方法则：

(7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；　作差法　3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第86页的表格)

二次函数 （）的图象
一元二次方程	有两相异实根	有两相等实根	无实根
			R

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x₀,y₀)，从Ax₀+By₀+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

（四）基本不等式

1、如果a,b是正数，那么

2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

3.典型例题

1、用不等式表示不等关系

例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。

例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。

2、　较大小

例3 (1)（＋）²　　 ６＋2；

（2）（－）²　　　（－1）²；

（3）　　　 ；

(4)当a＞b＞0时，loga　　　　logb

(5) (a+3)(a-5)　　 (a+2)(a-4)

(6)　　

3、　用不等式的性质求取值范围

例4 如果,,则

(1) 的取值范围是　　　　　  , (2) 的取值范围是　　　　　  ,

(3) 的取值范围是　　　　　  , (4) 的取值范围是　　　　　　　　

例5已知函数,满足,,那么

的取值范围是　　　　　　　　 .

[思维拓展]已知，，求的取值范围。（[-2，0]）

4、　解一元二次不等式

例6 解不等式：（1）；（2）

例7已知关于x的方程(k-1)x²+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围

5、　二元一次方程（组）与平面区域

例8 画出不等式组表示的平面区域。

6、　求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

例9已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值。

[思维拓展]　已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值

7、　利用基本不等式证明不等式

例10 求证

8、　利用基本不等式求最值

例11若x>0,y>0,且,求xy的最小值

[思维拓展] 求(x>5)的最小值.